练习

练习

1. 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为

$$h=130t-5t^2.\text{\hspace{1em}(①)}$$

求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数。

2. 某日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）某市的温度走势如图所示。

（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；

（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度。

(第2题)

3. 集合A，B与对应关系f如下图所示：

(第3题)

$f:A\to B$ 是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？

4. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 $y=\sqrt{x}$ 来描述。

研究函数时常会用到区间的概念。

设a，b是两个实数，而且 $a<b$。我们规定：

（1）满足不等式 $a⩽x⩽b$ 的实数x的集合叫做闭区间，表示为 $[a,b]$；

（2）满足不等式 $a<x<b$ 的实数x的集合叫做开区间，表示为 $(a,b)$。

（3）满足不等式 $a⩽x⩽b$ 或 $a<x⩽b$ 的实数 $x$ 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 $[a,b),(a,b]$。

这里的实数 $a$ 与 $b$ 都叫做相应区间的端点。

这些区间的几何表示如表3.1-2所示。在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

表3.1-2

区间	数轴表示
$[a,b]$	实心点a，实心点b
$(a,b)$	空心点a，空心点b
$[a,b)$	实心点a，空心点b
$(a,b]$	空心点a，实心点b

实数集R可以用区间表示为 $(-\infty ,+\infty )$。“$\infty$”读作“无穷大”，“$-\infty$”读作“负无穷大”，“$+\infty$”读作“正无穷大”。

满足 $x⩾a,x>a,x⩽b,x<b$ 的实数x的集合，可以用区间分别表示为 $[a,+\infty ),(a,+\infty ),(-\infty ,b],(-\infty ,b)$。这些区间的几何表示如表3.1-3所示。

表3.1-3

区间	数轴表示
$[a,+\infty )$	实心点a向右
$(a,+\infty )$	空心点a向右
$(-\infty ,b]$	实心点b向左
$(-\infty ,b)$	空心点b向左

例2 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x+2}$

（1）求函数的定义域；

（2）求 $f(-3),f(\frac{2}{3})$ 的值；

（3）当 $a>0$ 时，求 $f(a),f(a-1)$ 的值。

在函数定义中，我们用符号 $y=f(x)$ 表示函数，其中 $f(x)$ 表示 $x$ 对应的函数值，而不是 $f$ 乘 $x$。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式 $y=f(x)$，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

解：（1）使根式 $\sqrt{x+3}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x\mid x⩾-3\}$，使分式 $\frac{1}{x+2}$ 有意义的实数 $x$ 的集合是 $\{x\mid x\ne -2\}$，所以，这个函数的定义域是

$$\{x\mid x⩾-3\}\cap \{x\mid x\ne -2\}=\{x\mid x⩾-3,且x\ne -2\},$$

即 $[-3,-2)\cup (-2,+\infty )$。

（2）将 $-3$ 与 $\frac{2}{3}$ 代入解析式，有

$$f(-3)=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3+2}=-1;$$

$$f(\frac{2}{3})=\sqrt{\frac{2}{3}+3}+\frac{1}{\frac{2}{3}+2}=\sqrt{\frac{11}{3}}+\frac{3}{8}=\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{33}}{3}.$$

（3）因为 $a>0$，所以 $f(a),f(a-1)$ 有意义。

$$f(a)=\sqrt{a+3}+\frac{1}{a+2};$$

$$f(a-1)=\sqrt{a-1+3}+\frac{1}{a-1+2}=\sqrt{a+2}+\frac{1}{a+1}.$$

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。

两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是 $y=350x$，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集，因此它们与正比例函数 $y=350x(x\in \mathbf{R})$ 也不是同一个函数。

此外，函数 $u=t^2,t\in (-\infty ,+\infty )$， $x=y^2,y\in (-\infty ,+\infty )$ 与 $y=x^2,x\in (-\infty ,+\infty )$，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数。

例3 下列函数中哪个与函数 $y=x$ 是同一个函数？ (1) $y=(\sqrt{x}{)}^2$； (2) $u=\sqrt[3]{v^3}$； (3) $y=\sqrt{x^2}$； (4) $m=\frac{n^2}{n}$。

解：(1) $y=(\sqrt{x}{)}^2=x(x\in \{x\mid x\ge 0\})$，它与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 不是同一个函数。

也可以利用信息技术画出例3中四个函数的图象，根据图象进行判断。

(2) $u=\sqrt[3]{v^3}=v(v\in \mathbf{R})$，它与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 是同一个函数。

(3) $y=\sqrt{x^2}=|x|=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0\end{array}$，它与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 的定义域都是实数集R，但是当 $x<0$ 时，它的对应关系与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 不相同。所以这个函数与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 不是同一个函数。

(4) $m=\frac{n^2}{n}=n(n\in \{n\mid n\ne 0\})$，它与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 的对应关系相同但定义域不相同。所以这个函数与函数 $y=x(x\in \mathbf{R})$ 不是同一个函数。

思考

至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号 $y=f(x)$，明确了函数的构成要素，比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？

练习

1. 求下列函数的定义域：

(1) $f(x)=\frac{1}{4x+7}$； (2) $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}-1$。

2. 已知函数 $f(x)=3x^3+2x$

（1）求 $f(2),f(-2),f(2)+f(-2)$ 的值；

（2）求 $f(a),f(-a),f(a)+f(-a)$ 的值。

3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数 $h=130t-5t^2$ 和二次函数 $y=130x-5x^2$；

（2）$f(x)=1$ 和 $g(x)=x^0$。