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如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域．

根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到t的变化范围。

下面用更精确的语言表示问题1中s与t的对应关系。

列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是

$s = 350 t . (①)$

其中，t的变化范围是数集 $A_{1} = {t ∣ 0 ⩽ t ⩽ 0.5}$ ，s的变化范围是数集 $B_{1} = {s ∣ 0 ⩽ s ⩽ 175}$ 。对于数集 $A_{1}$ 中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集 $B_{1}$ 中都有唯一确定的路程s和它对应。

问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？

显然，工资是一周工作天数d的函数，其对应关系是

$w = 350 d . (②)$

其中，d的变化范围是数集 $A_{2} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，w的变化范围是数集 $B_{2} = {350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100}$ 。对于数集 $A_{2}$ 中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集 $B_{2}$ 中都有唯一确定的工资与它对应。

问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

问题3 图3.1-1是某市某日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

图3.1-1

从图3.1-1中的曲线可知，t的变化范围是数集 $A_{3} = {t ∣ 0 ⩽ t ⩽ 24}$ ，AQI的值I都在数集 $B_{3} = {I ∣ 0 < I < 150}$ 中。对于数集 $A_{3}$ 中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集 $B_{3}$ 中都有唯一确定的AQI的值I与之对应。因此，这里的I是t的函数。

你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？

问题4 国际上常用恩格尔系数 $r (r = \frac{食品支出总额}{消费支出总额} \times 100%)$ 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国城镇居民恩格尔系数变化情况。

表3.1-1 我国城镇居民恩格尔系数变化情况

年份y	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
恩格尔系数r（%)	32.0	30.1	30.0	29.7	29.3	28.6	27.7	27.6	29.2	28.6

你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

这里，y的取值范围是数集 $A_{4} = {2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021}$ ；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 $B_{4} = {r ∣ 0 < r ⩽ 1}$ 。对于数集 $A_{4}$ 中的任意一个年份y，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集 $B_{4}$ 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应。所以，r是y的函数。

归纳

上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

上述问题的共同特征有：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。

事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function)，记作

$y = f (x), x \in A .$

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 ${f (x) ∣ x \in A}$ 叫做函数的值域。

显然，值域是集合B的子集。在问题1与问题2中，值域就是 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ；在问题3中，值域是数集B的真子集；在问题4中，值域 $C_{4} = {0.32, 0.301, 0.3, 0.297, 0.293, 0.286, 0.277, 0.276, 0.292}$ ，是数集 $B_{4} = {r ∣ 0 < r ⩽ 1}$ 的真子集。

17世纪后期，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19世纪，李善兰首次将function翻译成“函数”。

我们所熟悉的一次函数 $y = a x + b (a \neq = 0)$ 的定义域是R，值域也是R。对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数 $a x + b (a \neq = 0)$ 。

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ 的定义域是R，值域是B。当 $a > 0$ 时， $B = {y ∣ y ⩾ \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}}$ ；当 $a < 0$ 时， $B = {y ∣ y ⩽ \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}}$ 。对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 $a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ 。

思考

反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数。

例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数 $y = k x (k \neq = 0)$ ，可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 $y = x (10 - x)$ 来描述。

解：把 $y = x (10 - x)$ 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是 $B = {y ∣ y ⩽ 25}$ 。对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 $x (10 - x)$ 。

如果对x的取值范围作出限制，例如 $x \in {x ∣ 0 < x < 10}$ ，那么可以构建如下情境：

长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么 $y = x (10 - x)$ 。

其中，x的取值范围是 $A = {x ∣ 0 < x < 10}$ ，y的取值范围是 $B = {y ∣ 0 < y ⩽ 25}$ 。对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积 $x (10 - x)$ 。

探究

构建其他可用解析式 $y = x (10 - x)$ 描述其中变量关系的问题情境。

练习题

列车以 $350 km/h$ 行驶，且运行时间 $t$ 满足 $0 ⩽ t ⩽ 0.5$ 。下列关于路程 $s$ 的说法正确的是哪一项？

s = 350 t

，定义域为

R

，值域为

R

s = 350 t

，定义域为

{t ∣ 0 ⩽ t ⩽ 0.5}

，值域为

{s ∣ 0 ⩽ s ⩽ 175}

s = 350 t

，定义域为

{t ∣ t ⩾ 0}

，值域为

{s ∣ s ⩾ 0}

s = 350 t

，定义域为

{t ∣ 0 < t < 0.5}

，值域为

{s ∣ 0 < s < 175}

某维修公司规定工人每周工作天数 $d \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，每天工资 $350$ 元。一个工人每周工资 $w$ 的值域是下列哪一个集合？

{w ∣ w = 350 d, d \in R}

{350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100}

{w ∣ 350 ⩽ w ⩽ 2100}

{0, 350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100}

函数 $f : A \to B$ 的定义强调：对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ ，按照对应关系 $f$ ，在集合 $B$ 中应当有怎样的数 $y$ 与之对应？

A. 至少两个不同的数

y

B. 可以没有数

y

C. 唯一确定的数

y

D. 任意多个数

y

关于恩格尔系数和教材表格给出的函数关系，下列说法正确的有哪些？

A. 恩格尔系数可表示为

r = \frac{食品支出总额}{消费支出总额} \times 100%

B. 恩格尔系数越低，通常说明生活质量越高

C. 由年份

y

到恩格尔系数

r

的对应关系可以由表格给出

D. 表格中

2017

年和

2021

年的恩格尔系数相同，因此

r

不是

y

的函数

E. 对表中每一个年份

y

，都有唯一确定的恩格尔系数

r

与之对应

问题1中的列车路程函数 $s = 350 t$ 与问题2中的工资函数 $w = 350 d$ 的对应关系形式相同，所以它们一定是同一个函数。

一次函数 $y = a x + b (a \neq = 0)$ 的定义域和值域都是 $R$ 。

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ 的定义域是 $R$ ；当 $a > 0$ 时，它的值域是 ${y ∣ y ⩾ \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}}$ 。

在函数 $y = f (x), x \in A$ 中， $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的 ___。

长方形周长为 $20$ ，设一边长为 $x$ ，面积为 $y$ ，则 $y = x (10 - x)$ 。若结合实际背景，则 $x$ 的取值范围是 ___。

请用函数定义说明：图象给出的某日 AQI 值 $I$ 是时刻 $t$ 的函数。

请说明反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq = 0)$ 的定义域、对应关系和值域。

举出一个可以用正比例函数 $y = k x (k \neq = 0)$ 描述的实际情境，并指出其中两个变量的含义。

莱布尼茨在 $17$ 世纪后期第一次将 “function” 一词作为专门的数学术语，李善兰在 $19$ 世纪首次将 function 翻译成“函数”。

长方形的周长为 $20$ ，设一边长为 $x$ ，面积为 $y$ 。若要求面积至少为 $21$ ，下列哪一项同时正确给出了该实际情境中的函数关系、定义域以及满足面积要求的 $x$ 的取值范围？

y = x (10 - x)

，定义域为

R

，且

x \in [3, 7]

y = x (10 - x)

，定义域为

{x ∣ 0 < x < 10}

，且

x \in [3, 7]

y = x (20 - x)

，定义域为

{x ∣ 0 < x < 20}

，且

x \in [3, 7]

y = x (10 - x)

，定义域为

{x ∣ 0 < x < 10}

，且

x \in (0, 3] \cup [7, 10)

汽车刹车距离 $D$ 与刹车前车速 $v$ 的关系为 $D = \frac{1}{20} v + \frac{1}{180} v^{2}$ ，其中 $v > 0$ 。若要求 $D > 39.5$ ，下列说法正确的有？

A. 在实际情境中，把

D

看成

v

的函数时，定义域应受

v > 0

限制

B. 因为解析式在

v = 0

时有意义，所以

v = 0

一定属于该实际函数的定义域

C. 条件

D > 39.5

可化为一元二次不等式

v^{2} + 9 v - 7110 > 0

D. 结合

v > 0

，若

v_{2}

是方程

v^{2} + 9 v - 7110 = 0

的正根，则满足条件的实数速度为

v > v_{2}

E. 对每一个允许的车速

v

，都有唯一确定的刹车距离

D

与之对应，所以

D

是

v

的函数

在每周工资问题中，若工资关系为 $w = 350 d$ ，实际要求工人每周工作至少 $1$ 天、至多 $6$ 天，则把定义域取为 $[1, 6]$ 与取为 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 得到的是同一个函数。

若要把 $f (x) = x^{2} + x - 12$ 看作一个实数范围内的函数，则需先保证二次根式有意义，因此它的定义域是 ___。

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探究

练习题

列车以 350km/h 行驶，且运行时间 t 满足 0⩽t⩽0.5。下列关于路程 s 的说法正确的是哪一项？

某维修公司规定工人每周工作天数 d∈{1,2,3,4,5,6}，每天工资 350 元。一个工人每周工资 w 的值域是下列哪一个集合？

函数 f:A→B 的定义强调：对于集合 A 中的任意一个数 x，按照对应关系 f，在集合 B 中应当有怎样的数 y 与之对应？

关于恩格尔系数和教材表格给出的函数关系，下列说法正确的有哪些？

问题1中的列车路程函数 s=350t 与问题2中的工资函数 w=350d 的对应关系形式相同，所以它们一定是同一个函数。

一次函数 y=ax+b (a=0) 的定义域和值域都是 R。

二次函数 y=ax2+bx+c (a=0) 的定义域是 R；当 a>0 时，它的值域是 {y∣y⩾4a4ac−b2​}。

在函数 y=f(x), x∈A 中，x 的取值范围 A 叫做函数的 ___。

长方形周长为 20，设一边长为 x，面积为 y，则 y=x(10−x)。若结合实际背景，则 x 的取值范围是 ___。

请用函数定义说明：图象给出的某日 AQI 值 I 是时刻 t 的函数。

请说明反比例函数 y=xk​ (k=0) 的定义域、对应关系和值域。

举出一个可以用正比例函数 y=kx (k=0) 描述的实际情境，并指出其中两个变量的含义。

莱布尼茨在 17 世纪后期第一次将 “function” 一词作为专门的数学术语，李善兰在 19 世纪首次将 function 翻译成“函数”。

长方形的周长为 20，设一边长为 x，面积为 y。若要求面积至少为 21，下列哪一项同时正确给出了该实际情境中的函数关系、定义域以及满足面积要求的 x 的取值范围？

汽车刹车距离 D 与刹车前车速 v 的关系为 D=201​v+1801​v2，其中 v>0。若要求 D>39.5，下列说法正确的有？

在每周工资问题中，若工资关系为 w=350d，实际要求工人每周工作至少 1 天、至多 6 天，则把定义域取为 [1,6] 与取为 {1,2,3,4,5,6} 得到的是同一个函数。

若要把 f(x)=x2+x−12​ 看作一个实数范围内的函数，则需先保证二次根式有意义，因此它的定义域是 ___。

列车以 $350 km/h$ 行驶，且运行时间 $t$ 满足 $0 ⩽ t ⩽ 0.5$ 。下列关于路程 $s$ 的说法正确的是哪一项？

某维修公司规定工人每周工作天数 $d \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，每天工资 $350$ 元。一个工人每周工资 $w$ 的值域是下列哪一个集合？

函数 $f : A \to B$ 的定义强调：对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ ，按照对应关系 $f$ ，在集合 $B$ 中应当有怎样的数 $y$ 与之对应？

问题1中的列车路程函数 $s = 350 t$ 与问题2中的工资函数 $w = 350 d$ 的对应关系形式相同，所以它们一定是同一个函数。

一次函数 $y = a x + b (a \neq = 0)$ 的定义域和值域都是 $R$ 。

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ 的定义域是 $R$ ；当 $a > 0$ 时，它的值域是 ${y ∣ y ⩾ \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}}$ 。

在函数 $y = f (x), x \in A$ 中， $x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的 ___。

长方形周长为 $20$ ，设一边长为 $x$ ，面积为 $y$ ，则 $y = x (10 - x)$ 。若结合实际背景，则 $x$ 的取值范围是 ___。

请用函数定义说明：图象给出的某日 AQI 值 $I$ 是时刻 $t$ 的函数。

请说明反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq = 0)$ 的定义域、对应关系和值域。

举出一个可以用正比例函数 $y = k x (k \neq = 0)$ 描述的实际情境，并指出其中两个变量的含义。

莱布尼茨在 $17$ 世纪后期第一次将 “function” 一词作为专门的数学术语，李善兰在 $19$ 世纪首次将 function 翻译成“函数”。

长方形的周长为 $20$ ，设一边长为 $x$ ，面积为 $y$ 。若要求面积至少为 $21$ ，下列哪一项同时正确给出了该实际情境中的函数关系、定义域以及满足面积要求的 $x$ 的取值范围？

汽车刹车距离 $D$ 与刹车前车速 $v$ 的关系为 $D = \frac{1}{20} v + \frac{1}{180} v^{2}$ ，其中 $v > 0$ 。若要求 $D > 39.5$ ，下列说法正确的有？

在每周工资问题中，若工资关系为 $w = 350 d$ ，实际要求工人每周工作至少 $1$ 天、至多 $6$ 天，则把定义域取为 $[1, 6]$ 与取为 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 得到的是同一个函数。

若要把 $f (x) = x^{2} + x - 12$ 看作一个实数范围内的函数，则需先保证二次根式有意义，因此它的定义域是 ___。