正在学习

拓广探索

如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h)?

(第6题)

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章我们类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识．与用方程刻画相等关系类似，我们用不等式刻画不等关系，解决不等式问题需要利用不等式的性质，为此，在学习关于实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法.

关于实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础．不等式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，获得关于不等式的内容和研究方法的启发．其中，“运算中的不变性就是性质”指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这使我们注意到，在不等式两边同乘一个数（式）时，所乘数（式）的符号对不等号方向的影响；等等．以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式性质；再运用逻辑推理证明不等式性质．这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯.

同样地，类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简捷方法.

因此，类比是发现的引路人，在今后的学习中我们会经常用到它.

请你带着下面的问题，复习一下本章内容吧！

举出一些蕴含不等关系的实际例子，并用不等式描述这些不等关系.
你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？
在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，你认为应特别注意哪些问题？
两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．你还能通过运算（代数变形）得出基本不等式的一些变式吗？通过对变式的研究，你有什么体会？
用基本不等式解决最大值、最小值问题时，你认为应注意哪些问题？
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，其中函数的图象、零点、图象与x轴的关系等是关键要素，你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例，谈谈体会吗？

复习参考题2

复习巩固

某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.

(第1题)

用不等号“>”或“<”填空：

(1) 若 $a > b$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则ab 0；

(2) 若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} \frac{b}{c - b}$

(3) 若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} \frac{a + c}{b + c}$ .

（1）在面积为定值S 的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小?

（2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大?

求下列不等式的解集：

(1) $14 - 4 x^{2} ⩾ x;$

(2) $x^{2} - 14 x + 45 ⩽ 0;$

(3) $x^{2} + 6 x + 10 > 0;$

(4) $x (x + 2) > x (3 - x) + 1.$

综合运用

若 $a, b > 0$ ，且 $ab = a + b + 3$ ，求ab 的取值范围.
当k取什么值时，一元二次不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数x都成立？
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.

（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为 $220 m^{2}$ ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？

（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？

相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题．请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由.

相等关系	不等关系
相等关系的命题	不等关系的命题	判断正误
(1) 若 $x^{3} = y^{3}$ ，则 $x = y$	(1) 若 $x^{3} > y^{3}$ ，则 $x > y$	正确

练习题

某夏令营有 $48$ 人，设 $A$ 型帐篷有 $x$ 顶，且 $B$ 型帐篷比 $A$ 型多 $5$ 顶。若“只选 $A$ 型，每顶住 $4$ 人时帐篷不够；每顶住 $5$ 人时有一顶没有住满”，下列不等式组最能刻画这两个不等关系的是哪一项？

4 x < 48

，

5 x > 48

4 x > 48

，

5 x < 48

4 x \leq 48

，

5 x \geq 48

4 x < 48

，

5 x \leq 48

类比等式性质研究不等式性质时，下列说法正确的是哪一项？

A. 若

a > b

，则对任意实数

c

，都有

a c > b c

B. 若

a > b

且

c < 0

，则

a c < b c

C. 若

a = b

，则

a c < b c

D. 若

a > b

，则一定有

a^{2} > b^{2}

关于本章中“不等式、方程、函数”的联系，下列说法正确的有哪几项？

A. 可以用不等式刻画现实问题中的不等关系

B. 求一元二次不等式的解集时，可先求对应二次方程的根，再结合二次函数图象判断

C. 二次函数的零点就是对应一元二次方程的实数根

D. 类比只能用于发现结论，不能帮助研究数学性质

E. 函数图象与

x

轴的位置关系有助于理解一元二次不等式的解集

基本不等式可用于解决一些最值问题，但通常需要关注变量是否为正数以及等号能否成立。

若二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象与 $x$ 轴没有交点，则不等式 $x^{2} + 1 < 0$ 的解集为 $\emptyset$ 。

若 $a > b$ ，且 $c < 0$ ，则 $a c$ ___ $b c$ 。

用基本不等式说明：当 $x > 0$ 时， $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是多少？并指出等号成立条件。

解不等式 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 时，先求方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根为 $2$ 和 $3$ 。结合二次函数图象，可得该不等式的解集是哪个？

{x ∣ 2 < x < 3}

{x ∣ x < 2 或 x > 3}

{x ∣ x \leq 2 或 x \geq 3}

{x ∣ x \neq = 2, x \neq = 3}

某点到热带风暴中心的距离不超过 $450 km$ 时会受影响。若设从现在起 $t$ 小时后该点到风暴中心的距离为 $d (t) km$ ，则“该点受到影响”可用不等式表示为 ___。

研究不等式性质时，可以先以实数大小关系的基本事实为基础，通过类比等式性质归纳猜想，再用逻辑推理证明。

某码头位于坐标原点，取正东方向为 $x$ 轴正方向、正北方向为 $y$ 轴正方向。热带风暴中心初始位置在码头南偏东 $4 5^{\circ}$ 、距离 $600 km$ 处，并以 $20 km/h$ 向正北移动。若距风暴中心 $450 km$ 以内会受影响，设 $t$ 小时后码头受影响，则应建立的不等式是

(3002)^{2} + (20 t - 3002)^{2} \leq 45 0^{2}

(3002)^{2} + (20 t + 3002)^{2} \leq 45 0^{2}

(600)^{2} + (20 t - 600)^{2} \leq 45 0^{2}

(3002 - 20 t)^{2} + (3002)^{2} \geq 45 0^{2}

关于一元二次不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立的问题，下列说法正确的是

A. 若

k = 0

，原不等式化为

- \frac{3}{8} < 0

，对一切实数

x

成立

B. 若

k > 0

，二次函数开口向上，不可能使

2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0

对一切实数

x

成立

C. 若

k < 0

，需要对应二次函数没有零点，即判别式

Δ < 0

D. 对

k < 0

，由

Δ = k^{2} + 3 k < 0

得

- 3 < k < 0

E. 所有满足条件的

k

为

- 3 < k \leq 0

判断正误：把不等式 $- x^{2} + 4 x - 3 > 0$ 两边同乘 $- 1$ 后可得 $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ，因此解集为 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ 。

用二次函数观点求解一元二次不等式时，通常先求对应一元二次方程的根，也就是二次函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标，这些横坐标称为函数的 ___。

登录后解锁笔记、知识点解析、AI 问答

立即登录

拓广探索

拓广探索

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

复习参考题2

复习巩固

综合运用

练习题

某夏令营有 48 人，设 A 型帐篷有 x 顶，且 B 型帐篷比 A 型多 5 顶。若“只选 A 型，每顶住 4 人时帐篷不够；每顶住 5 人时有一顶没有住满”，下列不等式组最能刻画这两个不等关系的是哪一项？

类比等式性质研究不等式性质时，下列说法正确的是哪一项？

关于本章中“不等式、方程、函数”的联系，下列说法正确的有哪几项？

基本不等式可用于解决一些最值问题，但通常需要关注变量是否为正数以及等号能否成立。

若二次函数 y=x2+1 的图象与 x 轴没有交点，则不等式 x2+1<0 的解集为 ∅。

若 a>b，且 c<0，则 ac ___ bc。

用基本不等式说明：当 x>0 时，x+x4​ 的最小值是多少？并指出等号成立条件。

解不等式 x2−5x+6>0 时，先求方程 x2−5x+6=0 的根为 2 和 3。结合二次函数图象，可得该不等式的解集是哪个？

某点到热带风暴中心的距离不超过 450km 时会受影响。若设从现在起 t 小时后该点到风暴中心的距离为 d(t)km，则“该点受到影响”可用不等式表示为 ___。

研究不等式性质时，可以先以实数大小关系的基本事实为基础，通过类比等式性质归纳猜想，再用逻辑推理证明。

关于一元二次不等式 2kx2+kx−83​<0 对一切实数 x 都成立的问题，下列说法正确的是

判断正误：把不等式 −x2+4x−3>0 两边同乘 −1 后可得 x2−4x+3>0，因此解集为 (−∞,1)∪(3,+∞)。

用二次函数观点求解一元二次不等式时，通常先求对应一元二次方程的根，也就是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标，这些横坐标称为函数的 ___。

某夏令营有 $48$ 人，设 $A$ 型帐篷有 $x$ 顶，且 $B$ 型帐篷比 $A$ 型多 $5$ 顶。若“只选 $A$ 型，每顶住 $4$ 人时帐篷不够；每顶住 $5$ 人时有一顶没有住满”，下列不等式组最能刻画这两个不等关系的是哪一项？

若二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象与 $x$ 轴没有交点，则不等式 $x^{2} + 1 < 0$ 的解集为 $\emptyset$ 。

若 $a > b$ ，且 $c < 0$ ，则 $a c$ ___ $b c$ 。

用基本不等式说明：当 $x > 0$ 时， $x + \frac{4}{x}$ 的最小值是多少？并指出等号成立条件。

解不等式 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 时，先求方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根为 $2$ 和 $3$ 。结合二次函数图象，可得该不等式的解集是哪个？

某点到热带风暴中心的距离不超过 $450 km$ 时会受影响。若设从现在起 $t$ 小时后该点到风暴中心的距离为 $d (t) km$ ，则“该点受到影响”可用不等式表示为 ___。

关于一元二次不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立的问题，下列说法正确的是

判断正误：把不等式 $- x^{2} + 4 x - 3 > 0$ 两边同乘 $- 1$ 后可得 $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ，因此解集为 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ 。

用二次函数观点求解一元二次不等式时，通常先求对应一元二次方程的根，也就是二次函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标，这些横坐标称为函数的 ___。