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练习

1.求下列不等式的解集： (1) $(x + 2) (x - 3) > 0;$ (2) $3 x^{2} - 7 x ⩽ 10;$ (3) $- x^{2} + 4 x - 4 < 0;$ (4) $x^{2} - x + \frac{1}{4} < 0;$ (5) $- 2 x^{2} + x ⩽ - 3;$ (6) $x^{2} - 3 x + 4 > 0.$

2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ (1) $y = 3 x^{2} - 6 x + 2;$ (2) $y = 25 - x^{2}$ (3) $y = x^{2} + 6 x + 10;$ (4) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 12.$

利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子.

例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：

$y = - 20 x^{2} + 2200 x .$

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得

$- 20 x^{2} + 2200 x > 60000.$

移项整理，得

$x^{2} - 110 x + 3000 < 0.$

对于方程 $x^{2} - 110 x + 3000 = 0, Δ = 100 > 0$ ，方程有两个实数根 $x_{1} = 50, x_{2} = 60.$

画出二次函数 $y = x^{2} - 110 x + 3000$ 的图象(图2.3-6)，结合图象得不等式 $x^{2} - 110 x + 3000 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 50 < x < 60}$ 从而原不等式的解集为

${x ∣ 50 < x < 60} .$

因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59 辆时，这家工厂能够获得60 000元以上的收益.

图2.3-6

例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系：

$s = \frac{1}{20} v + \frac{1}{180} v^{2} .$

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到 $1 km/h)?$

解：根据题意，得

$\frac{1}{20} v + \frac{1}{180} v^{2} > 39.5.$

移项整理，得

刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.

$v^{2} + 9 v - 7110 > 0.$

对于方程 $v^{2} + 9 v - 7110 = 0, Δ > 0$ ，方程有两个实数根

$v_{1} = \frac{- 9 - 28521}{2}, v_{2} = \frac{- 9 + 28521}{2} .$

画出二次函数 $s = v^{2} + 9 v - 7110$ 的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为 ${v ∣ v < v_{1}$ ，或 $v > v_{2}$ ，从而原不等式的解集为

图2.3-7

${v ∣ v < v_{1} ，或 v > v_{2}} .$

因为车速 $v > 0$ ，所以 $v > v_{2}$ .而 $79.9 < v_{2} < 80$ ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.

类似地，第2.1节的不等式①经移项整理，得 $2 x^{2} - 13 x + 20 ⩽ 0$ ．用上述方法解这个不等式，得 ${x ∣ 2.5 ⩽ x ⩽ 4}$ ．所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.

练习

1.x 是什么实数时， $x^{2} + x - 12$ 有意义？

2．如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？

(第2题)

3.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？

习题2.3

复习巩固

求下列不等式的解集：(1) $13 - 4 x^{2} > 0;$ (2) $(x - 3) (x - 7) < 0;$ (3) $x^{2} - 3 x - 10 > 0;$ (4) $- 3 x^{2} + 5 x - 4 > 0.$
x 是什么实数时，下列各式有意义？(1) $x^{2} - 4 x + 9$ (2) $- 2 x^{2} + 12 x - 18 .$

综合运用

已知 $M = {x ∣4 x^{2} - 4 x - 15 > 0}, N = {x ∣ x^{2} - 5 x - 6 > 0}$ ，求 $M \cap N, M \cup N$
一名同学以初速度 $v_{0} = 12 m/s$ 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01 s)?
已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 16 < 0}, B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 > 0}$ 求 $A \cup B$ .

若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系 $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ，其中 $g \approx 10 m/ s^{2}$

练习题

某网店销售削笔器，最低售价为每个 $15$ 元，此时每天卖出 $30$ 个；售价每提高 $1$ 元，日销售量减少 $2$ 个。设每个削笔器提价 $x$ 元。若要求每天销售收入大于 $400$ 元，则根据建模并利用一元二次不等式求解， $x$ 的取值范围是（其中 $x \geq 0$ ）。

0 < x < 5

5 < x < 10

0 \leq x < 5

x > 10

关于实际问题转化为一元二次不等式的步骤，下列说法正确的是哪些？

A. 若题目给出收益函数

y = - 20 x^{2} + 2200 x

，要求收益大于

60000

元，可列不等式

- 20 x^{2} + 2200 x > 60000

。

B. 将

- 20 x^{2} + 2200 x > 60000

移项整理后可得

x^{2} - 110 x + 3000 < 0

。

C. 解

x^{2} - 110 x + 3000 < 0

时，可先求方程

x^{2} - 110 x + 3000 = 0

的根，再结合二次函数图象判断解集。

D. 若解得

50 < x < 60

，且

x

表示摩托车数量，则可取的整数值为

50, 51, \dots, 60

。

E. 若二次函数对应方程有两个不相等实根

x_{1} < x_{2}

，且二次项系数为正，则不等式

a x^{2} + b x + c < 0

的解集是

{x ∣ x_{1} < x < x_{2}}

。

判断正误：若要求二次根式 $x^{2} + x - 12$ 有意义，只需解一元二次不等式 $x^{2} + x - 12 > 0$ ，因此解集是 ${x ∣ x < - 4 或 x > 3}$ 。

某汽车刹车距离与车速满足 $s = \frac{1}{20} v + \frac{1}{180} v^{2}$ 。若测得刹车距离大于 $39.5 m$ ，整理得 $v^{2} + 9 v - 7110 > 0$ 。由于车速具有实际意义，应再结合条件 ___，从而只考虑正的速度范围。

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