正在学习

练习

1．用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折?

2．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

3．做一个体积为 $32 m^{3}$ ，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？

4．已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

习题2.2

复习巩固

1．（1）已知 $x > 1$ ，求 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值;

（2）求 $x (10 - x)$ 的最大值.

2．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大?

3．某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为 $48 m^{2}$ ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

综合运用

已知 $x, y, z$ 都是正数，求证： $(x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 x y z$
已知 $x > 0$ ，求证： $2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最大值是 $2 - 43$

6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

拓广探索

7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于 $10 g$ ？为什么？

8．设矩形 $A B C D$ ( $A B > A D$ ) 的周长为24cm，把 $△ A B C$ 沿AC向 $△ A D C$ 折叠，AB折过去后交DC于点P.设 $A B = x cm$ ，求 $△ A D P$ 的最大面积及相应x的值.

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题.

问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是 $24 m$ ，围成的矩形区域的面积要大于 $20 m^{2}$ ，则这个矩形的边长为多少米？

设这个矩形的一条边长为 $x m$ ，则另一条边长为 $(12 - x) m$ ，由题意，得

$(12 - x) x > 20,$

其中 $x \in {x ∣ 0 < x < 12}$ ．整理得

$x^{2} - 12 x + 20 < 0, x \in {x ∣ 0 < x < 12} . (①)$

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（quadratic inequality with one unknown)．一元二次不等式的一般形式是

$a x^{2} + b x + c > 0 或 a x^{2} + b x + c < 0,$

其中 $a, b, c$ 均为常数， $a \neq = 0$

练习题

下列关于一元二次不等式的说法，正确的是哪一项？

A. 只要含有未知数

x

的不等式都是一元二次不等式

B. 形如

a x^{2} + b x + c > 0

或

a x^{2} + b x + c < 0

，其中

a, b, c

为常数且

a \neq = 0

的不等式是一元二次不等式的一般形式

C. 一元二次不等式中未知数的最高次数可以是

1

a x^{2} + b x + c > 0

中允许

a = 0

，仍然是一元二次不等式

用长为 $24 m$ 的栅栏围成一个矩形，设其中一边长为 $x m$ 。若矩形面积大于 $20 m^{2}$ ，则应建立的不等式是哪个？

x (24 - x) > 20

，其中

0 < x < 24

x (12 - x) > 20

，其中

0 < x < 12

2 x (12 - x) > 20

，其中

0 < x < 12

x (12 + x) > 20

，其中

x > 0

求出不等式 $x^{2} - 12 x + 20 < 0$ 在 $0 < x < 12$ 内的解集，就可以得到栅栏围成矩形面积大于 $20 m^{2}$ 时边长 $x$ 的取值范围。

在长为 $24 m$ 的栅栏围成矩形的问题中，由 $x (12 - x) > 20$ 整理可得一元二次不等式 ___。

下列不等式中，哪些是一元二次不等式？

3 x^{2} - 2 x + 1 > 0

x^{2} + 5 < 0

2 x + 1 > 0

x^{3} - x < 0

- x^{2} + 4 x - 4 < 0

用长为 $24 m$ 的栅栏围成一个矩形。请说明为什么可以设一边为 $x m$ ，另一边为 $(12 - x) m$ ，并写出面积大于 $20 m^{2}$ 对应的不等式。

解不等式 $x^{2} - 12 x + 20 < 0$ ，并结合 $0 < x < 12$ ，矩形一边长 $x$ 的取值范围是哪个？

0 < x < 2

2 < x < 10

10 < x < 12

x < 2

或

x > 10

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 或 $a x^{2} + b x + c < 0$ 之间没有联系，必须完全分开研究。

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 $2$ 的不等式，称为 ___。

请简要说明为什么研究一元二次不等式时，可以联系二次函数和一元二次方程来理解。

用长为 $24 m$ 的栅栏围成一个矩形，设一边长为 $x m$ ，另一边长为 $(12 - x) m$ 。若要求面积大于 $20 m^{2}$ ，并结合“周长固定时矩形面积最大”的结论，下列说法正确的是哪一项？

A. 面积条件可化为

x^{2} - 12 x + 20 > 0

，且最大面积为

20 m^{2}

B. 面积条件可化为

x^{2} - 12 x + 20 < 0

，且当

x = 6

时面积最大

C. 面积条件可化为

x^{2} + 12 x + 20 < 0

，且当

x = 12

时面积最大

D. 面积条件可化为

12 x - x^{2} < 0

，且最大面积为

36 m^{2}

设两个正数 $x, y$ 满足 $x + y = 12$ 。若要求它们的积大于 $20$ ，并用一元二次不等式表示这一条件，下列说法正确的有哪几项？

A. 可令

y = 12 - x

，则条件为

x (12 - x) > 20

B. 整理后可得

x^{2} - 12 x + 20 < 0

C. 由于

x > 0

且

y > 0

，所以

0 < x < 12

D. 根据和为定值时积有最大值，

x y

的最大值为

36

x^{2} - 12 x + 20 < 0

不是一元二次不等式，因为它含有

x^{2}

判断正误：长为 $20 cm$ 的铁丝折成矩形，若设一边长为 $x cm$ ，则另一边长为 $(10 - x) cm$ ；要求面积不小于 $24 c m^{2}$ 可转化为一元二次不等式 $x^{2} - 10 x + 24 \leq 0$ ，并且由周长固定时面积最大可知最大面积在 $x = 5$ 时取得。

长为 $30 m$ 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园，设垂直于墙的边长为 $x m$ ，则平行于墙的边长为 $(30 - 2 x) m$ 。若要求面积大于 $100 m^{2}$ ，可整理为一元二次不等式 $2x^2-30x+100\,___\,0$ 。

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练习

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习题2.2

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综合运用

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

练习题

下列关于一元二次不等式的说法，正确的是哪一项？

用长为 24m 的栅栏围成一个矩形，设其中一边长为 xm。若矩形面积大于 20m2，则应建立的不等式是哪个？

求出不等式 x2−12x+20<0 在 0<x<12 内的解集，就可以得到栅栏围成矩形面积大于 20m2 时边长 x 的取值范围。

在长为 24m 的栅栏围成矩形的问题中，由 x(12−x)>20 整理可得一元二次不等式 ___。

下列不等式中，哪些是一元二次不等式？

用长为 24m 的栅栏围成一个矩形。请说明为什么可以设一边为 xm，另一边为 (12−x)m，并写出面积大于 20m2 对应的不等式。

解不等式 x2−12x+20<0，并结合 0<x<12，矩形一边长 x 的取值范围是哪个？

二次函数 y=ax2+bx+c、一元二次方程 ax2+bx+c=0 与一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 之间没有联系，必须完全分开研究。

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为 ___。