2.2 基本不等式

2.2 基本不等式

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.

前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：

∀a, $b\in \mathbf{R}$ ，有

$$a^2+b^2\ge 2ab,$$

当且仅当 $a=b$ 时，等号成立.

特别地，如果 $a>0,b>0$ ，我们用 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ 分别代替上式中的 $a$， $b$，可得

$$\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2},\text{\hspace{1em}(1)}$$

当且仅当 $a=b$ 时，等号成立.

通常称不等式（1）为基本不等式．其中， $\frac{a+b}{2}$ 叫做正数 $a$， $b$ 的算术平均数， $\sqrt{ab}$ 叫做正数 $a$， $b$ 的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

上面通过考察 $a^2+b^2⩾2ab$ 的特殊情形获得了基本不等式．能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.

要证

$$\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2},\text{\hspace{1em}(①)}$$

只要证

$$2\sqrt{ab}⩽a+b.\text{\hspace{1em}(②)}$$

要证②，只要证

$$2\sqrt{ab}-a-b⩽0.\text{\hspace{1em}(③)}$$

要证③，只要证

$$-(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2⩽0.\text{\hspace{1em}(④)}$$

要证④，只要证

$$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0.\text{\hspace{1em}(⑤)}$$

显然，⑤成立，当且仅当 $a=b$ 时，⑤中的等号成立.

只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.

探究

在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，$AC=a,BC=b$。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

图2.2-1

如图2.2-1，可证 $△ACD\sim △DCB$ ，因而 $CD=\sqrt{ab}$ ．由于CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为

$$\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}.$$

显然，当且仅当点C与圆心重合，即当 $a=b$ 时，上述不等式的等号成立.

例1 已知 $x>0$ ，求 $x+\frac{1}{x}$ 的最小值.

分析：求 $x+\frac{1}{x}$ 的最小值，就是要求一个 $y_0\left(=x_0+\frac{1}{x_0}\right)$ ，使 $\forall x>0$ ，都有 $x+\frac{1}{x}⩾y_0$。观察 $x+\frac{1}{x}$ ，发现 $x\cdot \frac{1}{x}=1$ ．联系基本不等式，可以利用正数x和 $\frac{1}{x}$ 的算术平均数与几何平均数的关系得到 $y_0=2$。

解：因为 $x>0$ ，所以

$$x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2,$$

当且仅当 $x=\frac{1}{x}$ ，即 $x^2=1,x=1$ 时，等号成立，因此所求的最小值为2.

在本题的解答中，我们不仅明确了 $\forall x>0$ ，有 $x+\frac{1}{x}⩾2$ ，而且给出了“当且仅当 $x=\frac{1}{x}$ ，即 $x^2=1,x=1$ 时，等号成立”，这是为了说明2是 $x+\frac{1}{x}(x>0)$ 的一个取值．想一想，当 $y_0<2$ 时， $x+\frac{1}{x}⩾y_0$ 成立吗？这时能说 $y_0$ 是 $x+\frac{1}{x}(x>0)$ 的最小值吗?

例2 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积 $xy$ 等于定值P，那么当 $x=y$ 时，和 $x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

（2）如果和 $x+y$ 等于定值S，那么当 $x=y$ 时，积 $xy$ 有最大值 $\frac{1}{4}{S}^2$。

证明：因为 $x,y$ 都是正数，所以

$$\frac{x+y}{2}⩾\sqrt{xy}.$$

（1）当积 $xy$ 等于定值P时，

$$\frac{x+y}{2}⩾\sqrt{P},$$

所以

$$x+y\ge 2\sqrt{P},$$

当且仅当 $x=y$ 时，上式等号成立．于是，当 $x=y$ 时，和 $x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

(2）当和 $x+y$ 等于定值S 时,

$$\sqrt{xy}⩽\frac{S}{2},$$

所以

$$xy⩽\frac{1}{4}{S}^2,$$

当且仅当 $x=y$ 时，上式等号成立．于是，当 $x=y$ 时，积 $xy$ 有最大值 $\frac{1}{4}{S}^2$。

练习

1.已知 $a,b\in \mathbf{R}$ ，求证 $ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

2.已知 $x,y$ 都是正数，且 $x\ne y$ ，求证：

(1) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2;$ (2） $\frac{2xy}{x+y}<\sqrt{xy}$

3．当x取什么值时， $x^2+\frac{1}{x^2}$ 取得最小值？最小值是多少？

4.已知 $-1⩽x⩽1$ ，求 $1-x^2$ 的最大值.

5．已知直角三角形的面积等于 $50\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ ，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？

基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具.

例3 （1）用篱笆围一个面积为 $100{\mathrm{m}}^2$ 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.

（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为 $2(x+y)\mathrm{m}$。

（1）由已知得 $xy=100.$

由

$$\frac{x+y}{2}⩾\sqrt{xy},$$

可得

$$x+y\ge 2\sqrt{xy}=20,$$

所以

$$2(x+y)⩾40,$$

当且仅当 $x=y=10$ 时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m.

（2）由已知得 $2(x+y)=36$ ，矩形菜园的面积为 $xy{\mathrm{m}}^2$。

由

$$\sqrt{xy}⩽\frac{x+y}{2}=\frac{18}{2}=9,$$

可得

$$xy⩽81,$$

当且仅当 $x=y=9$ 时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 $81{\mathrm{m}}^2$。

例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 $4800{\mathrm{m}}^3$，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.

解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为 $z$ 元。根据题意，有

$$\begin{array}{l}z=150\times \frac{4800}{3}+120(2\times 3x+2\times 3y)\\ =240000+720(x+y).\end{array}$$

由容积为 $4800{\mathrm{m}}^3$，可得

$$3xy=4800,$$

因此

$$xy=1600.$$

所以

$$z\ge 240000+720\times 2\sqrt{xy},$$

当 $x=y=40$ 时，上式等号成立，此时 $z=297600$.

所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.