思考

思考

请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性。你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？

等式有下面的基本性质：

性质1 如果 $a=b$，那么 $b=a$；

性质2 如果 $a=b$，$b=c$，那么 $a=c$；

性质3 如果 $a=b$，那么 $a\pm c=b\pm c$；

性质4 如果 $a=b$，那么 $ac=bc$；

性质5 如果 $a=b,c\ne 0$，那么 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。

可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。

运算中的不变性就是性质。

探究

类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？

类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：

性质1 如果 $a>b$，那么 $b<a$；如果 $b<a$，那么 $a>b$。即

$$a>b⟺b<a.$$

性质2 如果 $a>b,b>c$，那么 $a>c$。即

$$a>b,b>c\Rightarrow a>c.$$

我们来证明性质2：

由两个实数大小关系的基本事实知

$$\begin{array}{l}a>b\Rightarrow a-b>0\\ b>c\Rightarrow b-c>0\end{array}\}\Rightarrow (a-b)+(b-c)>0\Rightarrow a-c>0\Rightarrow a>c.$$

类比等式的性质3～5，可以猜想不等式还有如下性质：

性质3 如果 $a>b$，那么 $a+c>b+c$。

这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。

从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解。对其他不等式的性质，你能用文字语言表述吗？

如图2.1-5，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点 $A_1$ 与 $B_1$，A与B和 $A_1$ 与 $B_1$ 的左右位置关系不会改变。用不等式的语言表示，就是上述性质3。

B	$B_1$	A	$A_1$
b	$b+c$	a	$a+c$

图2.1-5

由性质3可得，

$$\begin{array}{rl}a+b>c& \Rightarrow a+b+(-b)>c+(-b)\\ & \Rightarrow a>c-b.\end{array}$$

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。

性质4 如果 $a>b,c>0$，那么 $ac>bc$；如果 $a>b,c<0$，那么 $ac<bc$。

这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。

利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质。例如，利用性质2，3可以推出：

性质5 如果 $a>b,c>d$，那么 $a+c>b+d$。

事实上，由 $a>b$ 和性质3，得 $a+c>b+c$；由 $c>d$ 和性质3，得 $b+c>b+d$。再根据性质2，即得 $a+c>b+d$。

利用性质4和性质2可以推出：

性质6 如果 $a>b>0,c>d>0$，那么 $ac>bd$。

性质7 如果 $a>b>0$，那么 $a^n>b^n(n\in \mathbf{N},n\ge 2)$。

实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。

例2 已知 $a>b>0,c<0$，求证 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$。

分析：要证明 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$，因为 $c<0$，所以可以先证明 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。利用已知 $a>b>0$ 和性质4，即可证明 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

证明：因为 $a>b>0$，所以 $ab>0,\frac{1}{ab}>0$。

于是

$$a\cdot \frac{1}{ab}>b\cdot \frac{1}{ab},$$

即

$$\frac{1}{b}>\frac{1}{a}.$$

由 $c<0$，得 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$。

练习

1. 证明不等式性质1，3，4，6。

2. 用不等号“$>$”或“$<$”填空：

（1）如果 $a>b,c<d$，那么 $a-cb-d$；

（2）如果 $a>b>0,c<d<0$，那么 $acbd$；

（3）如果 $a>b>0$，那么 $\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2}$；

（4）如果 $a>b>c>0$，那么 $\frac{c}{a}\frac{c}{b}$。

习题2.1

复习巩固

1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子。

2. 某市生态环境局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元。列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”。

3．比较下列各组中两个代数式的大小： (1) $x^2+5x+6$ 与 $2x^2+5x+9;$ (2) $(x-3{)}^2$ 与 $(x-2)(x-4)$; (3) 当 $x>1$ 时， $x^2$ 与 $x^2-x+1$ ； (4) $x^2+y^2+1$ 与 $2(x+y-1)$.

4．一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).

5.已知 $2<a<3$， $-2<b<-1$ ，求 $2a+b$ 的取值范围.

6．证明： $c<b,b<a\Rightarrow c<a$

综合运用

7.已知 $a>b>0,c<d<0,e<0$ ，求证 $\frac{e}{a-c}>\frac{e}{b-d}.$

8．下列命题为真命题的是（）. （A）若 $a>b>0$ ，则 $a{c}^2>b{c}^2$ (B）若 $a>b>0$ ，则 $a^2>b^2$ (C）若 $a<b<0$ ，则 $a^2<ab<b^2$ (D）若 $a<b<0$ ，则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

9.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.

10．已知b克糖水中含有 $a$ 克糖 $(b>a>0)$ ，再添加m克糖 $(m>0)$ (假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

拓广探索

11.已知 $a>b>0$ ，求证 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$

12．火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？