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2.1 等式性质与不等式性质

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示.

问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40 km/h;

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

对于（1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 $v$ km/h，“限速 40 km/h”就是 $v$ 的大小不能超过40，于是 $0 < v ⩽ 40.$

对于（2)，由题意，得 ${f \geq 2.5%, p \geq 2.3%.$

①你能写出其他的可能情况吗？

对于（3)，设 $△ A B C$ 的三条边为 $a, b, c$ ，则 $a + b > c, a - b < c .$

对于（4)，如图2.1-1，设C 是直线AB 外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则 $C D < C E$

以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应的问题了.

图2.1-1

问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为 $(8 - \frac{x - 2.5}{0.1} \times 0.2) x$ 万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为

$(8 - \frac{x - 2.5}{0.1} \times 0.2) x ⩾ 20. (①)$

求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.

如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质.

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设 $a, b$ 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B．那么，当点A在点B的左边时， $a < b$ ；当点A在点B的右边时， $a > b$

图2.1-2

关于实数 $a, b$ 大小的比较，有以下基本事实：

如果 $a - b$ 是正数，那么 $a > b$ ；如果 $a - b$ 等于0，那么 $a = b$ ；如果 $a - b$ 是负数，那么 $a < b$ 反过来也对.

这个基本事实可以表示为

$a > b \Leftrightarrow a - b > 0; a = b \Leftrightarrow a - b = 0; a < b \Leftrightarrow a - b < 0.$

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。

例1 比较 $(x + 2) (x + 3)$ 和 $(x + 1) (x + 4)$ 的大小。

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

解：因为

0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”

$(x + 2) (x + 3) - (x + 1) (x + 4) = (x^{2} + 5 x + 6) - (x^{2} + 5 x + 4) = 2 > 0,$

所以

$(x + 2) (x + 3) > (x + 1) (x + 4) .$

这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）。这是解决不等式问题的常用方法。

探究

图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

图2.1-3

将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4。在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为 $a, b (a \neq = b)$ ，那么正方形的边长为 $a^{2} + b^{2}$ 。这样，4个直角三角形的面积和为 $2 ab$ ，正方形的面积为 $a^{2} + b^{2}$ 。由于正方形 ABCD 的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式

$a^{2} + b^{2} > 2 ab .$

当直角三角形变为等腰直角三角形，即 $a = b$ 时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

图2.1-4

$a^{2} + b^{2} = 2 ab .$

于是就有 $a^{2} + b^{2} ⩾ 2 ab$

一般地， $\forall a, b \in R$ ，有

$a^{2} + b^{2} \geq 2 ab,$

当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。

事实上，利用完全平方公式，得

$a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} .$

因为 $\forall a, b \in R, (a - b)^{2} \geq 0$ ，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立，所以 $a^{2} + b^{2} - 2 ab \geq 0$ 。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 $a^{2} + b^{2} ⩾ 2 ab$ ，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。

练习

用不等式或不等式组表示下面的不等关系：

（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m）从地面算起不能超过4m;

（2）a与b的和是非负实数；

（3）如图，在一个面积小于 $350 m^{2}$ 的矩形场地的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长 $L$ （单位：m）大于宽 $W$ （单位：m）的4倍。

(第1 (3)题)

比较 $(x + 3) (x + 7)$ 和 $(x + 4) (x + 6)$ 的大小。
已知 $a > b$ ，证明 $a > \frac{a + b}{2} > b$ 。

关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础。那么，不等式到底有哪些性质呢？

因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发。

练习题

某隧道规定通过车辆的车货总高度 $h$ （单位： $m$ ）从地面算起不能超过 $4 m$ ，且高度应为正数。用不等式表示为（）。

h > 4

0 < h \leq 4

h \geq 4

0 \leq h < 4

比较 $(x + 3) (x + 7)$ 与 $(x + 4) (x + 6)$ 的大小，正确的是（）。

(x + 3) (x + 7) > (x + 4) (x + 6)

(x + 3) (x + 7) < (x + 4) (x + 6)

(x + 3) (x + 7) = (x + 4) (x + 6)

D. 大小关系随

x

的取值而改变

已知实数 $a, b$ 在数轴上对应的点分别为 $A, B$ 。若点 $A$ 在点 $B$ 的右边，则下列结论正确的是（）。

a < b

，且

a - b < 0

a > b

，且

a - b > 0

a = b

，且

a - b = 0

D. 无法判断

a

与

b

的大小

下列说法或表示正确的有（）。

A. “脂肪含量

f

应不少于

2.5%

”可表示为

f \geq 2.5%

B. “蛋白质含量

p

应不少于

2.3%

”可表示为

p < 2.3%

C. 若三角形三边为

a, b, c

，则有

a + b > c

D. 若点

C

在直线

A B

外，

C D ⊥ A B

，

E

是直线

A B

上不同于

D

的点，则

C D < C E

E. “不超过”通常可用符号

\geq

表示

关于不等式 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ，下列说法正确的有（）。

A. 对任意实数

a, b

，都有

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

B. 等号成立当且仅当

a = b

C. 证明它可以用恒等式

a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2}

D. 因为

(a - b)^{2} \leq 0

，所以

a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

E. 命题可写成含全称量词的形式：

\forall a, b \in R, a^{2} + b^{2} \geq 2 ab

若 $a - b < 0$ ，则 $a < b$ 。

设 $△ A B C$ 的三边长为 $a, b, c$ ，则 $a - b > c$ 是三角形边长必须满足的不等关系。

与解方程要用等式的性质类似，解不等式通常需要使用不等式的性质。

某品牌食品检测规定，糖含量 $s$ 应不少于 $5%$ ，盐含量 $t$ 应不少于 $1%$ 。用不等式组表示为 ${s \geq 5%, t \geq___.$

要比较两个代数式 $M$ 与 $N$ 的大小，可以先研究它们的差 $M - N$ 与 $0$ 的大小；若 $M - N > 0$ ，则 $M___N$ 。

某杂志原价为每本 $2.5$ 元，可售出 $8$ 万本。若每提高 $0.1$ 元，销售量减少 $0.2$ 万本。设提价后定价为 $x$ 元，销售总收入不低于 $20$ 万元。请写出相应的不等式模型，并说明建立模型的依据。

设点集 $S = {P ∣ P A < P B}$ ，其中 $A, B$ 是平面内两个不同定点。请说明这个点集表达了怎样的不等关系，并指出它与点集表示平面图形的联系。

设命题 $p$ 为： $\forall x \in R$ ，都有 $(x + 2) (x + 3) > (x + 1) (x + 4)$ 。下列判断正确的是哪一项？

p

为真命题，因为两式之差为

2 > 0

p

为假命题，因为当

x = 0

时左式小于右式

p

为真命题，因为两式之差为

2 x > 0

p

为假命题，因为只能证明存在某个

x

使不等式成立

某食品质量标准规定：脂肪含量 $f$ 应不少于 $2.5%$ ，蛋白质含量 $p$ 应不少于 $2.3%$ 。设合格产品对应的点集为 $S$ 。下列说法正确的有哪几项？

S = {(f, p) ∣ f \geq 2.5%, p \geq 2.3%}

S = {(f, p) ∣ f \geq 2.5%} \cap {(f, p) ∣ p \geq 2.3%}

C. 条件

f \geq 2.5%

是点

(f, p) \in S

的充分条件

D. 点

(2.6%, 2.4%) \in S

E. 点

(2.4%, 2.5%) \in S

命题“ $\forall a, b \in R$ ， $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ，且 $a = b$ 是 $a^{2} + b^{2} = 2 ab$ 的充要条件”是真命题。

设点 $C$ 在直线 $l$ 外， $D$ 是 $C$ 到直线 $l$ 的垂足。若用点集表示直线 $l$ 上到 $C$ 距离最短的点，则该点集为 ${___}$ 。

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2.1 等式性质与不等式性质