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思考

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则 $x = 1$ ；

（4）若平面内两条直线 $a$ 和 $b$ 均垂直于直线 $l$ ，则 $a ∥ b$ 。

在命题（1）（4）中，由条件 $p$ 通过推理可以得出结论 $q$ ，所以它们是真命题。在命题（2）（3）中，由条件 $p$ 不能得出结论 $q$ ，所以它们是假命题。

一般地，“若 $p$ ，则 $q$ ”为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$ 。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$ ，记作

$p ⟹ q,$

并且说， $p$ 是 $q$ 的充分条件， $q$ 是 $p$ 的必要条件。

①此时，如果 $q$ 不成立，则 $p$ 一定不成立。所以， $q$ 对于 $p$ 成立而言是必要的。请举例说明。

如果“若 $p$ ，则 $q$ ”为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$ ，记作 $p ⇏ q$ 。此时，我们就说 $p$ 不是 $q$ 的充分条件， $q$ 不是 $p$ 的必要条件。

上述命题（1）（4）中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件， $q$ 是 $p$ 的必要条件，而命题（2）（3）中的 $p$ 不是 $q$ 的充分条件， $q$ 不是 $p$ 的必要条件。

例1 下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪些命题中的 $p$ 是 $q$ 的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

（4）若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ；

（5）若 $a = b$ ，则 $a c = b c$ ；

（6）若 $x, y$ 为无理数，则 $x y$ 为无理数。

解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， $p ⟹ q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

（2）这是一条相似三角形的判定定理， $p ⟹ q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

（3）这是一条菱形的性质定理， $p ⟹ q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

（4）由于 $(- 1)^{2} = 1$ ，但 $- 1 \neq = 1$ ， $p ⇏ q$ ，所以 $p$ 不是 $q$ 的充分条件。

举反例是判断一个命题是假命题的重要方法。

（5）由等式的性质知， $p ⟹ q$ ，所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

（6） $2$ 为无理数，但 $2 \times 2 = 2$ 为有理数， $p ⇏ q$ ，所以 $p$ 不是 $q$ 的充分条件。

思考

例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？

我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q。一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的。例如，我们知道，下列命题均为真命题：

①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。

所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。

事实上，例1中命题（1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理。所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形。类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”。

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；

（4）若 $x = 1$ ，则 $x^{2} = 1$ ；

（5）若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ ；

（6）若 $x y$ 为无理数，则x，y为无理数。

解：（1）这是平行四边形的一条性质定理， $p ⟹ q$ ，所以，q是p的必要条件。

（2）这是三角形相似的一条性质定理， $p ⟹ q$ ，所以，q是p的必要条件。

（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， $p ⇏ q$ ，所以，q不是p的必要条件。

（4）显然， $p ⟹ q$ ，所以， $q$ 是p的必要条件。

（5）由 $(- 1) \times 0 = 1 \times 0$ ，但 $- 1 \neq = 1$ ， $p ⇏ q$ ，所以， $q$ 不是p的必要条件。

（6）由于 $1 \times 2 = 2$ 为无理数，但1， $2$ 不全是无理数， $p ⇏ q$ ，所以， $q$ 不是p的必要条件。

图1.4-1

一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有 $p \Rightarrow q$ ，即“若p，则q”是否为真命题。

思考

例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？

我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q。一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的。例如，下列命题都是真命题：

①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；

②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；

③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分。

这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件。

我们知道，例2中命题(1)及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理。所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件。类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”。

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

练习

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则 $P A = P B$ ；

（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；

（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若直线l与 $⊙ O$ 有且仅有一个交点，则l为 $⊙ O$ 的一条切线；

（2）若 $x$ 是无理数，则 $x^{2}$ 也是无理数。

如图，直线a与b被直线所截，分别得到 $∠1, ∠2, ∠3$ 和 $∠4$ 。请根据这些信息，写出几个“ $a // b$ ”的充分条件和必要条件。

(第3题)

1.4.2 充要条件

思考

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a c < 0$ ；

（4）若 $A \cup B$ 是空集，则A与B均是空集。

不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 $p ⟹ q$ ，又有 $q \Rightarrow p$ ，就记作

$p ⟺ q$

将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题。

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。

概括地说，如果 $p ⟺ q$ ，那么p与q互为充要条件。上述命题（1）（4）中的p与q互为充要条件。

例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；

（3）p： $x y > 0$ ，q： $x > 0, y > 0$ ；

（4）p： $x = 1$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，q： $a + b + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）。

解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么？），所以 $q ⇏ p$ ，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 $p ⟺ q$ ，所以p是q的充要条件。

（3）因为 $x y > 0$ 时， $x > 0, y > 0$ 不一定成立（为什么？），所以 $p ⇏ q$ ，所以p不是q的充要条件。

（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 $p ⟺ q$ ，所以p是q的充要条件。

练习题

已知命题“若 $p$ ，则 $q$ ”是真命题。下列说法正确的是哪一项？

p ⇏ q

，且

p

不是

q

的充分条件

p ⟹ q

，且

p

是

q

的充分条件，

q

是

p

的必要条件

q ⟹ p

，且

q

一定是

p

的充分条件

p ⟺ q

，且

p

与

q

一定互为充要条件

若 $p ⟹ q$ ，则当 $q$ 不成立时， $p$ 一定不成立。

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪一个可以用来说明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件？

A. 若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直

B. 若

x^{2} = 1

，则

x = 1

C. 若

a = b

，则

a c = b c

D. 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似

下列条件中，哪些是“四边形是平行四边形”的充分条件？

A. 四边形的两组对边分别相等

B. 四边形的一组对边平行且相等

C. 四边形的两条对角线互相平分

D. 四边形有一组邻边相等

E. 四边形的两组对角分别相等

如果“若 $p$ ，则 $q$ ”为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$ ，记作 ___。

要判断“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，关键是判断什么？

A. 判断是否有

q ⟹ p

B. 判断是否有

p ⟹ q

C. 判断

p

与

q

是否完全相同

D. 判断

p

与

q

是否都含有数学符号

“四边形是平行四边形”的必要条件只有一个，即“四边形的两组对角分别相等”。

设 $p$ ：两个三角形相似； $q$ ：两个三角形的三边成比例。下列说法正确的有哪些？

p ⟹ q

q ⟹ p

p ⟺ q

p

是

q

的充要条件

p ⇏ q

说明为什么“若 $x, y$ 为无理数，则 $x y$ 为无理数”是假命题，并指出它与充分条件、必要条件的关系。

设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 3, 5}$ 。令 $p$ ： $x \in ∁_{U} A$ ； $q$ ： $x$ 是偶数。判断 $p$ 与 $q$ 是否互为充要条件，并说明理由。

设全集 $U$ 为所有三角形的集合， $A = {x ∣ x 是锐角三角形}$ ， $B = {x ∣ x 是钝角三角形}$ 。已知 $∁_{U} (A \cup B) = {x ∣ x 是直角三角形}$ 。令 $p$ ： $x$ 是直角三角形， $q$ ： $x \in ∁_{U} (A \cup B)$ 。下列说法正确的是哪一项？

A. 只有

p ⟹ q

成立，

q ⇏ p

B. 只有

q ⟹ p

成立，

p ⇏ q

p ⟺ q

，所以

p

与

q

互为充要条件

p ⇏ q

且

q ⇏ p

设 $A$ ， $B$ 是有限集合，且 $card (A) = 5$ ， $card (B) = 7$ 。令 $p$ ： $card (A \cup B) = 12$ ， $q$ ： $A \cap B = \emptyset$ 。根据有限集合并集元素个数公式，以下说法正确的有哪几项？

p ⟹ q

q ⟹ p

p

是

q

的充分条件

q

是

p

的必要条件

p

与

q

互为充要条件

设 $A \subseteq U$ ，且 $x \in U$ 。令 $p$ ： $x \in ∁_{U} A$ ， $q$ ： $x \in / A$ 。根据补集的描述法表示， $p ⟺ q$ ，因此 $p$ 与 $q$ ___。

设 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ 。令 $p$ ： $x \in A \cup B$ ， $q$ ： $x \in A \cap B$ 。判断 $p$ 是否是 $q$ 的充分条件，并说明理由。

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练习

1.4.2 充要条件

思考

练习题

已知命题“若 p，则 q”是真命题。下列说法正确的是哪一项？

若 p⟹q，则当 q 不成立时，p 一定不成立。

下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪一个可以用来说明 p 不是 q 的充分条件？

下列条件中，哪些是“四边形是平行四边形”的充分条件？

如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 ___。

要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件，关键是判断什么？

“四边形是平行四边形”的必要条件只有一个，即“四边形的两组对角分别相等”。

设 p：两个三角形相似；q：两个三角形的三边成比例。下列说法正确的有哪些？

说明为什么“若 x,y 为无理数，则 xy 为无理数”是假命题，并指出它与充分条件、必要条件的关系。

设全集 U={1,2,3,4,5}，集合 A={1,3,5}。令 p：x∈∁U​A；q：x 是偶数。判断 p 与 q 是否互为充要条件，并说明理由。

设全集 U 为所有三角形的集合，A={x∣x 是锐角三角形}，B={x∣x 是钝角三角形}。已知 ∁U​(A∪B)={x∣x 是直角三角形}。令 p：x 是直角三角形，q：x∈∁U​(A∪B)。下列说法正确的是哪一项？

设 A，B 是有限集合，且 card(A)=5，card(B)=7。令 p：card(A∪B)=12，q：A∩B=∅。根据有限集合并集元素个数公式，以下说法正确的有哪几项？

设 A⊆U，且 x∈U。令 p：x∈∁U​A，q：x∈/A。根据补集的描述法表示，p⟺q，因此 p 与 q ___。

设 A={1,2}，B={2,3}。令 p：x∈A∪B，q：x∈A∩B。判断 p 是否是 q 的充分条件，并说明理由。

已知命题“若 $p$ ，则 $q$ ”是真命题。下列说法正确的是哪一项？

若 $p ⟹ q$ ，则当 $q$ 不成立时， $p$ 一定不成立。

下列“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中，哪一个可以用来说明 $p$ 不是 $q$ 的充分条件？

如果“若 $p$ ，则 $q$ ”为假命题，那么由条件 $p$ 不能推出结论 $q$ ，记作 ___。

要判断“若 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题中 $q$ 是否为 $p$ 的必要条件，关键是判断什么？

设 $p$ ：两个三角形相似； $q$ ：两个三角形的三边成比例。下列说法正确的有哪些？

说明为什么“若 $x, y$ 为无理数，则 $x y$ 为无理数”是假命题，并指出它与充分条件、必要条件的关系。

设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 3, 5}$ 。令 $p$ ： $x \in ∁_{U} A$ ； $q$ ： $x$ 是偶数。判断 $p$ 与 $q$ 是否互为充要条件，并说明理由。

设全集 $U$ 为所有三角形的集合， $A = {x ∣ x 是锐角三角形}$ ， $B = {x ∣ x 是钝角三角形}$ 。已知 $∁_{U} (A \cup B) = {x ∣ x 是直角三角形}$ 。令 $p$ ： $x$ 是直角三角形， $q$ ： $x \in ∁_{U} (A \cup B)$ 。下列说法正确的是哪一项？

设 $A$ ， $B$ 是有限集合，且 $card (A) = 5$ ， $card (B) = 7$ 。令 $p$ ： $card (A \cup B) = 12$ ， $q$ ： $A \cap B = \emptyset$ 。根据有限集合并集元素个数公式，以下说法正确的有哪几项？

设 $A \subseteq U$ ，且 $x \in U$ 。令 $p$ ： $x \in ∁_{U} A$ ， $q$ ： $x \in / A$ 。根据补集的描述法表示， $p ⟺ q$ ，因此 $p$ 与 $q$ ___。

设 $A = {1, 2}$ ， $B = {2, 3}$ 。令 $p$ ： $x \in A \cup B$ ， $q$ ： $x \in A \cap B$ 。判断 $p$ 是否是 $q$ 的充分条件，并说明理由。