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复习巩固

1.用符号“∈”或“∉”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则

中国___A，美国___A，印度___A，英国___A；

（2）若 $A = {x ∣ x^{2} = x}$ ，则-1___A；

（3）若 $B = {x ∣ x^{2} + x - 6 = 0}$ ，则3___B；

（4）若 $C = {x \in N ∣ 1 ⩽ x ⩽ 10}$ ，则8___C，9.1___C。

2．用列举法表示下列集合：

（1）大于1且小于6的整数；

（2） $A = {x ∣ (x - 1) (x + 2) = 0}$ ；

（3） $B = {x \in Z ∣ - 3 < 2 x - 1 < 3}$ 。

综合运用

3.把下列集合用另一种方法表示出来：

（1）{2，4，6，8，10}；

（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；

（3） ${x \in N ∣ 3 < x < 7}$ ；

（4）中国古代四大发明。

4．用适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数 $y = x^{2} - 4$ 的函数值组成的集合；

（2）反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的自变量的取值组成的集合；

（3）不等式 $3 x ⩾ 4 - 2 x$ 的解集。

拓广探索

5．集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。

康托尔（Georg Cantor, 1845—1918)

1.2 集合间的基本关系

我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5， $5 < 7$ ，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢？

观察

观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？

（1） $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ；

（2）C 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；

（3） $E = {x ∣ x$ 是有两条边相等的三角形}， $F = {x ∣ x$ 是等腰三角形}。

可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素。这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。（2）中的集合C与集合D也有这种关系。

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset），记作

$A \subseteq B (或 B \supseteq A),$

读作“A包含于B”（或“B包含A”）。

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用图1.2-1表示。

图1.2-1

在（3）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由所有等腰三角形组成的集合。即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素也都是集合E中的元素。这样，集合E 的元素与集合F的元素是一样的。

一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B。

请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例。

也就是说，若 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $A = B$ 。

如果集合 $A \subseteq B$ ，但存在元素 $x \in B$ ，且 $x \in / A$ ，就称集合A 是集合B的真子集（proper subset)，记作

$A ⫋ B (或 B ⫌ A),$

与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？

读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

例如，在（1）中， $A \subseteq B$ ，但 $4 \in B$ ，且 $4 \in / A$ ，所以集合A是集合B 的真子集。

我们知道，方程 $x^{2} + 1 = 0$ 没有实数根，所以方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的实数根组成的集合中没有元素。

你能举出几个空集的例子吗？

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。

思考

包含关系 ${a} \subseteq A$ 与属于关系 $a \in A$ 有什么区别？试结合实例作出解释。

由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即

$A \subseteq A;$

（2）对于集合A，B，C，如果 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq C$ ，那么 $A \subseteq C$ 。

例1 写出集合 ${a, b}$ 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

解：集合 ${a, b}$ 的所有子集为∅， ${a}, {b}, {a, b}$ ，真子集为∅， ${a}$ ， ${b}$ 。

例2 判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由：

（1） $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {x ∣ x$ 是8的约数}；

（2） $A = {x ∣ x$ 是长方形}， $B = {x ∣ x$ 是两条对角线相等的平行四边形}。

解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

（2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集。

练习题

设 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {1, 2, 3, 4}$ 。下列判断正确的是哪一项？

A \subseteq B

4 \in A

B \subseteq A

A = B

若两个集合 $A$ ， $B$ 满足 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，则一定有哪一项成立？

A ⫋ B

B ⫋ A

A = B

A

与

B

没有公共元素

集合 $S = {a, b}$ 的真子集个数是多少？

2

3

4

5

下列说法中正确的有哪些？

A. 若

A \subseteq B

，则

A

中任意一个元素都是

B

中的元素

B. 空集

\emptyset

是任何集合的子集

C. 任何集合

A

都满足

A \subseteq A

D. 若

A \subseteq B

且

B \subseteq C

，则

A \subseteq C

E. 在 Venn 图中，常用平面上封闭曲线的内部表示集合

设 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ， $C = {x \in N ∣ 1 \leq x \leq 2}$ 。下列判断正确的有哪些？

A = C

A \subseteq B

A ⫋ B

C \subseteq A

3 \in A

在 Venn 图中，如果表示集合 $A$ 的封闭曲线完全位于表示集合 $B$ 的封闭曲线内部，则一定有 $A \subseteq B$ 。

空集 $\emptyset$ 是任何集合的真子集。

对于集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq C$ ，则 $A$ ___ $C$ 。

写出集合 ${a, b}$ 的所有子集，并指出其中的真子集。

说明 ${a} \subseteq A$ 与 $a \in A$ 的区别，并举一个例子。

设集合 $A = {x \in N ∣ 1 \leq x \leq 5}$ ， $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 。下列判断正确的是哪一项？

A ⫋ B

B \subseteq A

A = B

6 \in A

设 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {1, 2}$ ， $C = {2, 1}$ 。下列说法正确的有哪几项？

A = B

B = C

A \subseteq C

C ⫋ B

3 \in A

判断正误：若 $A = {x \in Z ∣ - 1 < x < 3}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，所以 $A = B$ 。

设 $A = {x \in R ∣ x^{2} + 1 = 0}$ 。因为方程 $x^{2} + 1 = 0$ 没有实数根，所以 $A =_$ ，且 $A$ 是任何集合的子集。

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综合运用

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1.2 集合间的基本关系

观察

思考

练习题

设 A={1,2,3}，B={1,2,3,4}。下列判断正确的是哪一项？

若两个集合 A，B 满足 A⊆B 且 B⊆A，则一定有哪一项成立？

集合 S={a,b} 的真子集个数是多少？

下列说法中正确的有哪些？

设 A={1,2}，B={1,2,3}，C={x∈N∣1≤x≤2}。下列判断正确的有哪些？

在 Venn 图中，如果表示集合 A 的封闭曲线完全位于表示集合 B 的封闭曲线内部，则一定有 A⊆B。

空集 ∅ 是任何集合的真子集。

对于集合 A，B，C，若 A⊆B，且 B⊆C，则 A ___ C。

写出集合 {a,b} 的所有子集，并指出其中的真子集。

说明 {a}⊆A 与 a∈A 的区别，并举一个例子。

设集合 A={x∈N∣1≤x≤5}，B={1,2,3,4,5,6}。下列判断正确的是哪一项？

设 A={x∣x2−3x+2=0}，B={1,2}，C={2,1}。下列说法正确的有哪几项？

判断正误：若 A={x∈Z∣−1<x<3}，B={0,1,2}，则 A⊆B 且 B⊆A，所以 A=B。

设 A={x∈R∣x2+1=0}。因为方程 x2+1=0 没有实数根，所以 A=_，且 A 是任何集合的子集。

设 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {1, 2, 3, 4}$ 。下列判断正确的是哪一项？

若两个集合 $A$ ， $B$ 满足 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，则一定有哪一项成立？

集合 $S = {a, b}$ 的真子集个数是多少？

设 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ， $C = {x \in N ∣ 1 \leq x \leq 2}$ 。下列判断正确的有哪些？

在 Venn 图中，如果表示集合 $A$ 的封闭曲线完全位于表示集合 $B$ 的封闭曲线内部，则一定有 $A \subseteq B$ 。

空集 $\emptyset$ 是任何集合的真子集。

对于集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq C$ ，则 $A$ ___ $C$ 。

写出集合 ${a, b}$ 的所有子集，并指出其中的真子集。

说明 ${a} \subseteq A$ 与 $a \in A$ 的区别，并举一个例子。

设集合 $A = {x \in N ∣ 1 \leq x \leq 5}$ ， $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 。下列判断正确的是哪一项？

设 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {1, 2}$ ， $C = {2, 1}$ 。下列说法正确的有哪几项？

判断正误：若 $A = {x \in Z ∣ - 1 < x < 3}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，所以 $A = B$ 。

设 $A = {x \in R ∣ x^{2} + 1 = 0}$ 。因为方程 $x^{2} + 1 = 0$ 没有实数根，所以 $A =_$ ，且 $A$ 是任何集合的子集。