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练习

1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：

（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?

（2）写出这个简谐运动的函数解析式.

(第1题)

(第2题)

2．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是

$s = 3 cos (\frac{g}{l} t + \frac{π}{3}), t \in [0, + \infty) .$

（1）当l=25时，求该沙漏的最大偏角（精确到0.0001 rad)；

（2）已知 $g = 9.8 m/ s^{2}$ ，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到0.1cm)?

3．一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V）关于时间t（单位：s）的函数解析式.

(第3题)

匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述.

例1 如图5.7-3，某地一天从6～14 时的温度变化曲线近似满足函数

$y = A sin (ω x + φ) + b .$

（1）求这一天6～14 时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式.

解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是 $2 0^{\circ} C$ ．

（2）由图5.7-3可以看出，从6～14时的图象是函数

$y = A sin (ω x + φ) + b ①$

图5.7-3

的半个周期的图象，所以

$A = \frac{1}{2} (30 - 10) = 10, b = \frac{1}{2} (30 + 10) = 20.$

因为 $\frac{1}{2} \times \frac{2 π}{ω} = 14 - 6$ ，所以 $ω = \frac{π}{8}$ ．

将A=10，b=20, $ω = \frac{π}{8}, x = 6, y = 10$ 代入①式，可得 $φ = \frac{3 π}{4}$ ．

综上，所求解析式为

$y = 10 sin (\frac{π}{8} x + \frac{3 π}{4}) + 20, x \in [6, 14] .$

一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.

例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.

表5.7-2

时刻	水深/m	时刻	水深/m	时刻	水深/m
0:00	5.0	9:18	2.5	18:36	5.0
3:06	7.5	12:24	5.0	21:42	2.5
6:12	5.0	15:30	7.5	24:00	4.0

（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001 m)。

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口？在港口能待多久？

（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少．如果这条船一直卸货，那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等．为了安全，这条船需要在这一时刻前至少0.4h停止卸货并驶离港口，那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口？

分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如 $y = A sin (ω x + φ) + h$ 的函数来刻画，其中x 是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，γ，h的值。

解：（1）以时间 $x$ （单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4)。根据图象，可以考虑用函数 $y = A sin (ω x + φ) + h$ 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：

图5.7-4

$A = 2.5, h = 5, T = 12.4, φ = 0;$

由 $T = \frac{2 π}{ω} = 12.4$ ，得

$ω = \frac{5 π}{31} .$

所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ 近似描述。由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3)：

表5.7-3

时刻	0:00	1:00	2:00	3:00	4:00	5:00	6:00	7:00	8:00	9:00	10:00	11:00
水深/m	5.000	6.213	7.122	7.497	7.245	6.428	5.253	4.014	3.023	2.529	2.656	3.372

时刻	12:00	13:00	14:00	15:00	16:00	17:00	18:00	19:00	20:00	21:00	22:00	23:00
水深/m	4.497	5.748	6.812	7.420	7.420	6.812	5.748	4.497	3.372	2.656	2.529	3.023

（2）货船需要的安全水深为 $4 + 1.5 = 5.5 m$ ，所以当 $y \geq 5.5$ 时就可以进港．令

$2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5 = 5.5,$

$sin \frac{5 π}{31} x = 0.2.$

由计算器可得 $\frac{5 π}{31} x \approx 0.2014$ 。

科学计算器上，有 $sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}$ 三个键，在已知一个三角函数值时，可以利用它们求出对应的角。

如图5.7-5，在区间 $[0, 12]$ 内，函数 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ 的图象与直线 $y = 5.5$ 有两个交点A，B，因此

$\frac{5 π}{31} x \approx 0.2014$ ，或 $π - \frac{5 π}{31} x \approx 0.2014$

图5.7-5

解得

$x_{A} \approx 0.3975, x_{B} \approx 5.8025.$

由函数的周期性易得：

$x_{C} \approx 12.4 + 0.3975 = 12.7975,$

$x_{D} \approx 12.4 + 5.8025 = 18.2025.$

因此，货船可以在零时30分左右进港，5时45分左右出港；或在13时左右进港，18 时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右。

（3）设在 $x h$ 时货船的安全水深为 $y m$ ，那么 $y = 5.5 - 0.3 (x - 2) (x \geq 2)$ 。在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6)。

借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为 $(7.016, 3.995)$ ，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货并驶离港口。

图5.7-6

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。

具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。

实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术。

练习题

某地在 $6$ 时到 $14$ 时的温度近似满足 $y = A sin (ω x + φ) + b$ ，图象在这段时间内最低温为 $1 0^{\circ} C$ ，最高温为 $3 0^{\circ} C$ ，且这段图象正好是半个周期。下列参数正确的是哪一项？

A = 20, b = 10, ω = \frac{π}{4}

A = 10, b = 20, ω = \frac{π}{8}

A = 10, b = 20, ω = \frac{π}{16}

A = 20, b = 20, ω = \frac{π}{8}

港口水深可近似表示为 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ ，其中 $x$ 的单位是小时， $y$ 的单位是米。该模型的周期约为多少小时？

6.2

10

12.4

31

货船需要的安全水深为 $5.5 m$ ，港口水深模型为 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ 。若要求 $y = 5.5$ ，则首先应化为哪一个三角方程？

sin \frac{5 π}{31} x = 0.2

sin \frac{5 π}{31} x = 0.5

sin \frac{5 π}{31} x = 2.2

sin \frac{5 π}{31} x = - 0.2

关于三角函数模型在实际问题中的应用，下列说法正确的有哪几项？

A. 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流等理想周期现象可以用三角函数模型准确描述。

B. 现实中的温度、潮汐等现象只要近似呈现周期变化，就可以在一定范围内借助三角函数近似描述。

C. 由实际数据得到的函数模型通常可以无条件外推到所有时间范围。

D. 建立实际问题的三角函数模型时，可以先画散点图、观察周期特征，再进行函数拟合。

E. 实际问题数据较复杂时，常需要借助计算器、计算机等信息技术。

已知一个正弦型实际模型 $y = A sin (ω x + φ) + h$ 。下列参数确定方法正确的有哪几项？

A. 若最高值为

M

、最低值为

m

，则

A = \frac{M - m}{2}

。

B. 若最高值为

M

、最低值为

m

，则

h = \frac{M + m}{2}

。

C. 若周期为

T

，则

ω = \frac{2 π}{T}

。

D. 若给出半个周期的长度为

L

，则

ω = \frac{π}{L}

。

E. 若

sin θ = 0.2

，则在一个周期内只有

θ = arcsin 0.2

一个解。

函数模型 $y = 10 sin (\frac{π}{8} x + \frac{3 π}{4}) + 20$ 来自某地 $6$ 时到 $14$ 时的温度变化，因此使用该模型时应特别注意 $x \in [6, 14]$ 这一自变量范围。

如果港口水深模型为 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ ，那么水深的最大值是 $7.5 m$ ，最小值是 $2.5 m$ 。

在实际问题中，只要画出散点图发现数据大致呈周期性，就一定能得到一个完全准确、无需误差分析的三角函数模型。

若某正弦型潮汐模型的周期为 $12.4$ 小时，则由 $T = \frac{2 π}{ω}$ 可得 $\omega=___$ 。

简述利用数据建立三角函数模型解决现实周期问题的一般步骤，并说明为什么要注意自变量范围。

某地某时段温度近似满足 $y = A sin (ω x + φ) + b$ ，最高温为 $3 2^{\circ} C$ ，最低温为 $1 2^{\circ} C$ ；类似筒车到水面距离模型 $d = A sin (ω t + φ) + K$ 中由最大、最小位置确定振幅和中线。该温度模型中的 $A$ 与 $b$ 分别应为多少？

A = 20, b = 22

A = 10, b = 22

A = 10, b = 20

A = 22, b = 10

下列关于用三角函数模型描述实际或理想周期现象的说法，哪些是正确的？

A. 简谐运动、交变电流等理想周期现象可以用三角函数模型准确描述。

B. 潮汐、气温等现实现象在一定范围内可用三角函数模型近似描述。

C. 对现实气温模型

y = A sin (ω x + φ) + b

，求出解析式后通常不需要考虑

x

的取值范围。

D. 若正弦型模型的周期为

T

，则可由

T = \frac{2 π}{ω}

确定

ω

。

E. 在交变电流模型

i = A sin (ω t + φ)

中，

A

可表示振幅，

\frac{ω}{2 π}

可表示频率。

若某港口水深可近似表示为 $y = 2.5 sin \frac{5 π}{31} x + 5$ ，则它的周期为 $12.4 h$ ；这与简谐运动模型中由 $T = \frac{2 π}{ω}$ 求周期的方法一致。

建立某天 $6$ 时到 $14$ 时气温的近似模型 $y = A sin (ω x + φ) + b$ 时，如果该曲线只表示这一天这一时段的变化，那么写出模型后应特别注意自变量 $x$ 的 ___。

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练习题

某地在 6 时到 14 时的温度近似满足 y=Asin(ωx+φ)+b，图象在这段时间内最低温为 10∘C，最高温为 30∘C，且这段图象正好是半个周期。下列参数正确的是哪一项？

港口水深可近似表示为 y=2.5sin315π​x+5，其中 x 的单位是小时，y 的单位是米。该模型的周期约为多少小时？

货船需要的安全水深为 5.5m，港口水深模型为 y=2.5sin315π​x+5。若要求 y=5.5，则首先应化为哪一个三角方程？

关于三角函数模型在实际问题中的应用，下列说法正确的有哪几项？

已知一个正弦型实际模型 y=Asin(ωx+φ)+h。下列参数确定方法正确的有哪几项？

函数模型 y=10sin(8π​x+43π​)+20 来自某地 6 时到 14 时的温度变化，因此使用该模型时应特别注意 x∈[6,14] 这一自变量范围。

如果港口水深模型为 y=2.5sin315π​x+5，那么水深的最大值是 7.5m，最小值是 2.5m。