正在学习

练习

1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：(1) $y = \frac{1}{2} sin x$ ，(2) $y = sin 3 x$ ；(3） $y = sin (x - \frac{π}{3})$ ；(4) $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$

2.已知函数 $y = 3 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象为C.

（1）为了得到函数 $y = 3 sin (x - \frac{π}{5})$ 的图象，只要把C上所有的点（）.（A）向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度（B）向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度（C）向右平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度（D）向左平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度

（2）为了得到函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象，只要把C上所有的点（）.（A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变

（3）为了得到函数 $y = 4 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象，只要把C上所有的点（）.（A）横坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ ，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ ，横坐标不变

3．函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

4.函数 $y = sin (x + \frac{π}{12}), x \in [0, + \infty)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

习题5.6

复习巩固

1．选择题

（1）为了得到函数 $y = cos (x + \frac{1}{3})$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.（A）向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度（B）向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度（C）向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度（D）向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

（2）为了得到函数 $y = cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.（A）横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

（3）为了得到函数 $y = \frac{1}{4} cos x$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.（A）横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ ，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ ，横坐标不变

2．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：(1) $y = 4 sin \frac{1}{2} x;$ (2） $y = \frac{1}{2} cos 3 x$ ；(3) $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ；(4) $y = 2 cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$

3．说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域)：(1) $y = 8 sin (\frac{x}{4} - \frac{π}{8}), x \in [0, + \infty)$ (2) $y = \frac{1}{3} sin (3 x + \frac{π}{7}), x \in [0, + \infty) .$

综合运用

4.函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为

5．将函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 的解析式.

6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A，B两点间的距离d（单位：cm）表示成t（单位：s)的函数，则d=______， $t \in [0, 60]$

7．如图，一个半径为3m 的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为

$d = A sin (ω t + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}) .$

（1）求A，ω，φ，K的值（𝜑精确到0.0001)；

（2）盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点（精确到0.01 s)？

(第7题)

练习题

为了得到函数 $y = 3 sin (x - \frac{π}{5})$ 的图象，只需把函数 $y = 3 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象上所有点怎样变换？

A. 向右平移

\frac{π}{5}

个单位长度

B. 向左平移

\frac{π}{5}

个单位长度

C. 向右平移

\frac{2 π}{5}

个单位长度

D. 向左平移

\frac{2 π}{5}

个单位长度

函数 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ 在一个周期内可以取的一个闭区间是下列哪一个？

[\frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}]

[\frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}]

的长度不是一个周期

[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]

[- \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}]

为了得到函数 $y = \frac{1}{4} cos x$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = cos x$ 上所有点怎样变换？

A. 横坐标伸长到原来的

4

倍，纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的

\frac{1}{4}

，纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的

4

倍，横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的

\frac{1}{4}

，横坐标不变

关于函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，下列说法正确的有哪几项？

A. 振幅为

3

B. 周期为

π

C. 可由

y = sin x

的图象先向左平移

\frac{π}{6}

个单位，再把横坐标缩短到原来的

\frac{1}{2}

，最后把纵坐标伸长到原来的

3

倍得到

D. 在五点法作图中，可令

X = 2 x + \frac{π}{6}

，再取

X = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

E. 最大值为

2

F. 图象可看作正弦曲线只作了纵向伸缩，没有横向伸缩和平移

下列关于余弦型函数图象变换的说法中，正确的有哪几项？

A. 由

y = cos x

得到

y = cos (x + \frac{1}{3})

，应向左平移

\frac{1}{3}

个单位长度

B. 由

y = cos x

得到

y = cos (x + \frac{1}{3})

，应向左平移

\frac{π}{3}

个单位长度

C. 由

y = cos x

得到

y = cos \frac{x}{5}

，应把横坐标伸长到原来的

5

倍，纵坐标不变

D. 由

y = cos x

得到

y = \frac{1}{4} cos x

，应把纵坐标缩短到原来的

\frac{1}{4}

，横坐标不变

y = \frac{1}{2} cos 3 x

的周期为

\frac{2 π}{3}

函数 $y = sin (x + \frac{π}{12}), x \in [0, + \infty)$ 的图象可以看作正弦曲线 $y = sin x$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，在定义域 $[0, + \infty)$ 上的部分。

将函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得函数为 $g (x) = 3 sin (2 x + \frac{11 π}{12})$ 。

若筒车半径为 $3 m$ ，每分钟转 $1.5$ 圈，则用 $d = A sin (ω t + φ) + K$ 表示盛水筒到水面的距离时，必有 $A = 3$ ，且 $ω = \frac{π}{20} rad/s$ 。

函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的振幅为 ___。

秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为 $5 cm$ ，当 $t = 0$ 时 $A$ 与钟面上标 $12$ 的点 $B$ 重合，秒针转一周用 $60 s$ 。则 $A, B$ 两点间距离可表示为 $d=___$ ， $t \in [0, 60]$ 。

说明函数 $y = 8 sin (\frac{x}{4} - \frac{π}{8}), x \in [0, + \infty)$ 的图象可由正弦曲线 $y = sin x$ 经过怎样的变换得到。

某正弦型函数为 $y = A sin (ω x + φ)$ ，已知其最大值为 $4$ ，最小值为 $- 4$ ，一个周期为 $π$ ，且当 $x = 0$ 时 $y = 4$ ，其中 $A > 0, ω > 0, 0 < φ < π$ 。求该函数的解析式。

要画函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期闭区间上的简图，下列关于周期和由 $y = sin x$ 得到该图象的说法正确的是哪一项？

A. 周期为

\frac{2 π}{3}

；可先向右平移

\frac{π}{6}

，再把横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后把纵坐标变为原来的

2

倍

B. 周期为

6 π

；可先向右平移

\frac{π}{6}

，再把横坐标变为原来的

3

倍，最后把纵坐标变为原来的

2

倍

C. 周期为

\frac{2 π}{3}

；可先向左平移

\frac{π}{6}

，再把横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后把纵坐标变为原来的

2

倍

D. 周期为

\frac{2 π}{3}

；可先向右平移

\frac{π}{6}

，再把纵坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后把横坐标变为原来的

2

倍

用“五点法”画函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在一个周期内的图象。下列说法正确的有哪几项？

A. 令

X = 2 x + \frac{π}{6}

，可取

X = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

B. 对应的

x

值依次为

- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}, \frac{2 π}{3}, \frac{11 π}{12}

C. 该函数的周期是

π

D. 该函数的最大值是

2

，最小值是

- 2

E. 该函数图象可看作由正弦曲线经过横向伸缩、相位平移和纵向伸缩得到

函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的周期是 $4 π$ ，值域是 $[- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}]$ ；它的图象可由正弦曲线经过相位平移、横向伸长和纵向压缩得到。

一个半径为 $3 m$ 的筒车每分钟转 $1.5$ 圈，用 $d = A sin (ω t + φ) + K$ 表示盛水筒到水面的距离，且 $t$ 的单位为秒，则角速度参数 $\omega=___$ 。

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练习

练习

习题5.6

复习巩固

综合运用

练习题

为了得到函数 y=3sin(x−5π​) 的图象，只需把函数 y=3sin(x+5π​) 的图象上所有点怎样变换？

函数 y=2sin(2x−4π​) 在一个周期内可以取的一个闭区间是下列哪一个？

为了得到函数 y=41​cosx 的图象，只需把余弦曲线 y=cosx 上所有点怎样变换？

关于函数 y=3sin(2x+6π​) 的图象，下列说法正确的有哪几项？

下列关于余弦型函数图象变换的说法中，正确的有哪几项？

函数 y=sin(x+12π​), x∈[0,+∞) 的图象可以看作正弦曲线 y=sinx 向左平移 12π​ 个单位长度后，在定义域 [0,+∞) 上的部分。

将函数 y=3sin(2x+4π​) 的图象向左平移 3π​ 个单位后，所得函数为 g(x)=3sin(2x+1211π​)。

若筒车半径为 3 m，每分钟转 1.5 圈，则用 d=Asin(ωt+φ)+K 表示盛水筒到水面的距离时，必有 A=3，且 ω=20π​ rad/s。

函数 y=32​sin(21​x−4π​) 的振幅为 ___。

秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，当 t=0 时 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，秒针转一周用 60 s。则 A,B 两点间距离可表示为 d=___，t∈[0,60]。

说明函数 y=8sin(4x​−8π​), x∈[0,+∞) 的图象可由正弦曲线 y=sinx 经过怎样的变换得到。

某正弦型函数为 y=Asin(ωx+φ)，已知其最大值为 4，最小值为 −4，一个周期为 π，且当 x=0 时 y=4，其中 A>0,ω>0,0<φ<π。求该函数的解析式。

要画函数 y=2sin(3x−6π​) 在一个周期闭区间上的简图，下列关于周期和由 y=sinx 得到该图象的说法正确的是哪一项？

用“五点法”画函数 y=3sin(2x+6π​) 在一个周期内的图象。下列说法正确的有哪几项？

函数 y=32​sin(21​x−4π​) 的周期是 4π，值域是 [−32​,32​]；它的图象可由正弦曲线经过相位平移、横向伸长和纵向压缩得到。

一个半径为 3 m 的筒车每分钟转 1.5 圈，用 d=Asin(ωt+φ)+K 表示盛水筒到水面的距离，且 t 的单位为秒，则角速度参数 \omega=___。

为了得到函数 $y = 3 sin (x - \frac{π}{5})$ 的图象，只需把函数 $y = 3 sin (x + \frac{π}{5})$ 的图象上所有点怎样变换？

函数 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ 在一个周期内可以取的一个闭区间是下列哪一个？

为了得到函数 $y = \frac{1}{4} cos x$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = cos x$ 上所有点怎样变换？

关于函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，下列说法正确的有哪几项？

函数 $y = sin (x + \frac{π}{12}), x \in [0, + \infty)$ 的图象可以看作正弦曲线 $y = sin x$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，在定义域 $[0, + \infty)$ 上的部分。

将函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得函数为 $g (x) = 3 sin (2 x + \frac{11 π}{12})$ 。

若筒车半径为 $3 m$ ，每分钟转 $1.5$ 圈，则用 $d = A sin (ω t + φ) + K$ 表示盛水筒到水面的距离时，必有 $A = 3$ ，且 $ω = \frac{π}{20} rad/s$ 。

函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的振幅为 ___。

秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为 $5 cm$ ，当 $t = 0$ 时 $A$ 与钟面上标 $12$ 的点 $B$ 重合，秒针转一周用 $60 s$ 。则 $A, B$ 两点间距离可表示为 $d=___$ ， $t \in [0, 60]$ 。

说明函数 $y = 8 sin (\frac{x}{4} - \frac{π}{8}), x \in [0, + \infty)$ 的图象可由正弦曲线 $y = sin x$ 经过怎样的变换得到。

某正弦型函数为 $y = A sin (ω x + φ)$ ，已知其最大值为 $4$ ，最小值为 $- 4$ ，一个周期为 $π$ ，且当 $x = 0$ 时 $y = 4$ ，其中 $A > 0, ω > 0, 0 < φ < π$ 。求该函数的解析式。

要画函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期闭区间上的简图，下列关于周期和由 $y = sin x$ 得到该图象的说法正确的是哪一项？

用“五点法”画函数 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在一个周期内的图象。下列说法正确的有哪几项？

函数 $y = \frac{2}{3} sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ 的周期是 $4 π$ ，值域是 $[- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}]$ ；它的图象可由正弦曲线经过相位平移、横向伸长和纵向压缩得到。

一个半径为 $3 m$ 的筒车每分钟转 $1.5$ 圈，用 $d = A sin (ω t + φ) + K$ 表示盛水筒到水面的距离，且 $t$ 的单位为秒，则角速度参数 $\omega=___$ 。