5.5.2简单的三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换

学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.

例7试以cosα表示 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2},{\cos }^2\frac{\alpha }{2},{\tan }^2\frac{\alpha }{2}.$

解：α是 $\frac{\alpha }{2}$ 的二倍角．在倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 中，以α代替 $2\alpha$ ，以 $\frac{\alpha }{2}$ 代替α，得

α与 $\frac{\alpha }{2}$ 有什么关系？

$$\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2},$$

所以

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}.\text{\hspace{1em}(①)}$$

例7的结果还可以表示为：

在倍角公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 中，以α代替2α，以 $\frac{\alpha }{2}$ 代替α，得

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}},$$

$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}},$$

$$\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1,$$

$$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }},$$

所以

$${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}.\text{\hspace{1em}(②)}$$

将①②两个等式的左右两边分别相除，得

并称之为半角公式，符号由 $\frac{\alpha }{2}$ 所在象限决定.

$${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }.$$

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式。这是三角恒等变换的一个重要特点。

例8 求证：

(1) $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$,

(2) $\sin \theta +\sin \phi =2\sin \frac{\theta +\phi }{2}\cos \frac{\theta -\phi }{2}$.

这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？

证明：（1）因为

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ,$$

$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta ,$$

将以上两式的左右两边分别相加，得

$$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta ,$$

即

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )].$$

（2）由（1）可得

$$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta .$$

设 $\alpha +\beta =\theta$, $\alpha -\beta =\phi$ ①

那么

$$\alpha =\frac{\theta +\phi }{2},\beta =\frac{\theta -\phi }{2}.$$

如果不用（1）的结果，如何证明？

把 $\alpha$, $\beta$ 的值代入①，即得

$$\sin \theta +\sin \phi =2\sin \frac{\theta +\phi }{2}\cos \frac{\theta -\phi }{2}.$$

例8的证明用到了换元的方法。如把 $\alpha +\beta$ 看作 $\theta$， $\alpha -\beta$ 看作 $\phi$ ，从而把包含 $\alpha$, $\beta$ 的三角函数式转化为 $\theta$, $\phi$ 的三角函数式。或者，把 $\sin \alpha \cos \beta$ 看作 $x$， $\cos \alpha \sin \beta$ 看作 $y$ ，把等式看作 $x,y$ 的方程，则原问题转化为解方程（组）求 $x$。它们都体现了化归思想。

练习

1. 求证： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

2. 已知 $\cos \theta =\frac{1}{3}$ ，且 $270^{\circ }<\theta <360^{\circ }$ ，试求 $\sin \frac{\theta }{2}$ 和 $\cos \frac{\theta }{2}$ 的值。

3. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 $\frac{7}{25}$ ，求这个三角形的一个底角的正切。

4. 求证:

$$(1)\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )];$$

$$(2)\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )];$$

$$(3)\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )].$$

5. 求证：

$$(1)\sin \theta -\sin \phi =2\cos \frac{\theta +\phi }{2}\sin \frac{\theta -\phi }{2};$$

$$(2)\cos \theta +\cos \phi =2\cos \frac{\theta +\phi }{2}\cos \frac{\theta -\phi }{2};$$

$$(3)\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \frac{\theta +\phi }{2}\sin \frac{\theta -\phi }{2}.$$

例9 求下列函数的周期，最大值和最小值：

(1) $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$; (2) $y=3\sin x+4\cos x$.

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 $y=A\sin (x+\phi )$ ，利用和角公式将其展开，可化为 $y=a\sin x+b\cos x$ 的形式。反之，利用和（差）角公式，可将 $y=a\sin x+b\cos x$ 转化为 $y=A\sin (x+\phi )$ 的形式，进而就可以求得其周期和最值了。

解： (1) $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$

$$\begin{array}{l}=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\\ =2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right).\end{array}$$

你能说说这一步变形的理由吗？

因此，所求周期为 $2\pi$，最大值为2，最小值为-2。

（2）设 $3\sin x+4\cos x=A\sin (x+\phi )$ ，则

$3\sin x+4\cos x=A\sin x\cos \phi +A\cos x\sin \phi$.

于是 $A\cos \phi =3$, $A\sin \phi =4$, 于是 $A^2{\cos }^2\phi +A^2{\sin }^2\phi =25$, 所以 $A^2=25$.

取 $A=5$，则 $\cos \phi =\frac{3}{5}$, $\sin \phi =\frac{4}{5}$.

由 $y=5\sin (x+\phi )$ 可知，所求周期为 $2\pi$，最大值为5，最小值为-5。

例10 如图5.5-2，在扇形OPQ中，半径 $OP=1$ ，圆心角 $\angle POQ=\frac{\pi }{3}$ ，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形。记 $\angle POC=\alpha$ ，求当角 $\alpha$ 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

图5.5-2

分析：可先建立矩形ABCD的面积S与 $\alpha$ 之间的函数关系 $S=f(\alpha )$ ，再求函数 $S=f(\alpha )$ 的最大值。

解：在 $\text{Rt}△OBC$ 中， $OB=\cos \alpha$, $BC=\sin \alpha$.

在 $\text{Rt}△OAD$ 中， $\frac{DA}{OA}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$.

所以

$$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}DA=\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \alpha ,$$

$$AB=OB-OA=\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \alpha .$$

设矩形ABCD 的面积为S，则

由 $0<\alpha <\frac{\pi }{3}$，得 $\frac{\pi }{6}<2\alpha +\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}$，所以当 $2\alpha +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 时，

$$S_{ABCD}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

因此，当 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 时，矩形 ABCD的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$。

由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把 $y=a\sin x+b\cos x$ 转化为 $y=A\sin (x+\phi )$ 的形式，这个过程中蕴含了化归思想。