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归纳

从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结.

例5 已知 $sin 2 α = \frac{5}{13}, \frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，求 $sin 4 α$ ， $cos 4 α$ ， $tan 4 α$ 的值.

分析：已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.

解：由 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，得

$\frac{π}{2} < 2 α < π .$

又

$sin 2 α = \frac{5}{13},$

所以

$cos 2 α = - 1 - (\frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13} .$

于是

$sin 4 α = sin [2 \times (2 α)] = 2 sin 2 α cos 2 α = 2 \times \frac{5}{13} \times (- \frac{12}{13}) = - \frac{120}{169};$

“倍”是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍，4α 是2α 的二倍， $\frac{α}{2}$ 是 $\frac{α}{4}$ 的二倍，这里蕴含着换元思想.

$cos 4 α = cos [2 \times (2 α)] = 1 - 2 sin^{2} 2 α = 1 - 2 \times (\frac{5}{13})^{2} = \frac{119}{169};$

$tan 4 α = \frac{s i n 4 α}{c o s 4 α} = - \frac{120}{169} \times \frac{169}{119} = - \frac{120}{119} .$

例6 在△ABC中, $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ ，求 $tan (2 A + 2 B)$ 的值.

解法1：在 $△ A B C$ 中，

由 $cos A = \frac{4}{5}, 0 < A < π$ ，得

$sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = \frac{3}{5},$

2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系？

所以 $tan A = \frac{s i n A}{c o s A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

$tan 2 A = \frac{2 tan A}{1 - tan ^{2} A} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - ( \frac{3}{4} ) ^{2}} = \frac{24}{7} .$

又 $tan B = 2$ ,

所以 $tan 2 B = \frac{2 t a n B}{1 - t a n ^{2} B} = \frac{2 \times 2}{1 - 2 ^{2}} = - \frac{4}{3} .$

于是

$tan (2 A + 2 B) = \frac{tan 2 A + tan 2 B}{1 - tan 2 A tan 2 B} = \frac{\frac{24}{7} - \frac{4}{3}}{1 - \frac{24}{7} \times ( - \frac{4}{3} )} = \frac{44}{117}$

解法2：在 $△ A B C$ 中，

由 $cos A = \frac{4}{5}, 0 < A < π$ ，得

$sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = \frac{3}{5},$

所以

$tan A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} .$

又 $tan B = 2$ ,

所以

$tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = \frac{\frac{3}{4} + 2}{1 - \frac{3}{4} \times 2} = - \frac{11}{2},$

所以

$tan (2 A + 2 B) = t a n [2 (A + B)]$

练习

1.已知 $cos \frac{α}{8} = - \frac{4}{5}$ ， $8 π < α < 12 π$ ，求 $sin \frac{α}{4}, cos \frac{α}{4}, tan \frac{α}{4}$ 的值.

2.已知 $sin (α - π) = \frac{3}{5}$ ，求cos 2α 的值.

3.已知 $sin 2 α = - sin α, α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 tan α的值.

4.已知 $tan 2 α = \frac{1}{3}$ ，求 tan α 的值.

5．求下列各式的值：

(1) $sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ ； (2） $cos^{2} \frac{π}{8} - sin^{2} \frac{π}{8}$ ；

(3） $\frac{t a n 22. 5 ^{\circ}}{1 - t a n ^{2} 22. 5 ^{\circ}};$

(4） $2 cos^{2} 22. 5^{\circ} - 1.$

信息技术应用

利用信息技术制作三角函数表

前面在“对数的发明”中曾经谈到，纳皮尔利用对数制作了0°～90°每隔1'的八位三角函数表．应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神．今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助信息技术，容易地制作出非常精确的三角函数表．下面我们借助信息技术来作一个 $0^{\circ} \sim 9 0^{\circ}$ 每隔1'的八位三角函数表.

用计算工具可得：

sin 1'≈2.908 882 046×10-4 ≈ 0.000 290 888.

以此作为初始值，利用

$cos 1^{'} = 1 - sin^{2} 1^{'}; α_{0} = 1^{'}, α_{n} = α_{n - 1} + 1^{'}, n ⩾ 1; sin α_{n} = sin 1^{'} cos α_{n - 1} + cos 1^{'} sin α_{n - 1}, cos α_{n} = 1 - sin^{2} α_{n},$

就可以写出一个程序框图（如右图所示)，然后通过信息技术得到一个正弦函数的三角函数表.

请同学们根据上述思路，自己编写程序，得出一个三角函数表.

练习题

已知 $sin 2 α = \frac{5}{13}$ ，且 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ 。求 $cos 2 α$ 的值。

\frac{12}{13}

- \frac{12}{13}

\frac{5}{13}

- \frac{5}{13}

已知 $sin 2 α = \frac{5}{13}$ ， $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ 。则 $sin 4 α$ 等于多少？

\frac{120}{169}

- \frac{120}{169}

\frac{119}{169}

- \frac{119}{169}

已知 $sin 2 α = \frac{5}{13}$ ， $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ 。则 $tan 4 α$ 等于多少？

- \frac{120}{119}

\frac{120}{119}

- \frac{119}{120}

\frac{119}{120}

在 $△ A B C$ 中，若 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ ，则下列等式正确的有哪几项？

sin A = \frac{3}{5}

tan A = \frac{3}{4}

tan 2 A = \frac{24}{7}

tan 2 B = \frac{4}{3}

tan (A + B) = - \frac{11}{2}

tan (2 A + 2 B) = tan [2 (A + B)]

若 $sin θ = \frac{3}{5}$ ，则无论 $θ$ 在哪个象限，都有 $cos θ = \frac{4}{5}$ 。

公式 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ 与公式 $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ 都是余弦二倍角公式的变形。

利用信息技术制作 $0^{\circ} \sim 9 0^{\circ}$ 每隔 $1^{'}$ 的三角函数表时，可以用初始值和递推公式逐步生成正弦值。

把 $4 α$ 看作 $2 α$ 的二倍角时， $sin 4 α = 2 sin 2 α$ ，空格处应填 ___。

正切二倍角公式为 $\tan 2x=___$ 。

简述为什么在已知 $sin 2 α$ 求 $sin 4 α$ 、 $cos 4 α$ 时，可以把 $2 α$ 看作一个整体角。

在 $△ A B C$ 中，已知 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ 。说明如何用“先求 $tan (A + B)$ ，再求二倍角”的思路求 $tan (2 A + 2 B)$ 。

计算 $cos^{2} \frac{π}{8} - sin^{2} \frac{π}{8}$ 的值。

\frac{2}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

0

制作正弦函数表的递推公式中，若 $α_{n} = α_{n - 1} + 1^{'}$ ，则 $\sin\alpha_n=\sin1'\cos\alpha_{n-1}+___$ 。

已知 $sin 2 α = \frac{5}{13}$ ，且 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ 。若先根据 $2 α$ 的范围确定 $cos 2 α$ 的符号，再利用二倍角公式求 $cos 4 α$ ，则 $cos 4 α$ 的值是（）。

- \frac{119}{169}

\frac{119}{169}

- \frac{120}{169}

\frac{120}{169}

下列等式中，哪些可以通过和差角公式的反向使用或倍角公式直接化简得到？

sin 7 2^{\circ} cos 4 2^{\circ} - cos 7 2^{\circ} sin 4 2^{\circ} = \frac{1}{2}

2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2}

cos^{2} \frac{π}{8} - sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{2}{2}

\frac{t a n 22. 5 ^{\circ}}{1 - t a n ^{2} 22. 5 ^{\circ}} = 1

cos 2 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ} sin 7 0^{\circ} = 1

已知 $tan α = 2$ ， $tan β = \frac{1}{2}$ 。先用正切差角公式求 $tan (α - β)$ ，再把 $2 α - 2 β$ 看成 $2 (α - β)$ ，可得 $tan (2 α - 2 β) = \frac{24}{7}$ 。

在 $△ A B C$ 中，若已先用和角正切公式求出 $tan (A + B)$ ，再由 $2 A + 2 B = 2 (A + B)$ 求 $tan (2 A + 2 B)$ ，应使用的关键公式是 ___。

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练习

信息技术应用

利用信息技术制作三角函数表

练习题

已知 sin2α=135​，且 4π​<α<2π​。求 cos2α 的值。

已知 sin2α=135​，4π​<α<2π​。则 sin4α 等于多少？

已知 sin2α=135​，4π​<α<2π​。则 tan4α 等于多少？

在 △ABC 中，若 cosA=54​，tanB=2，则下列等式正确的有哪几项？

若 sinθ=53​，则无论 θ 在哪个象限，都有 cosθ=54​。

公式 cos2x=1−2sin2x 与公式 cos2x=2cos2x−1 都是余弦二倍角公式的变形。

利用信息技术制作 0∘∼90∘ 每隔 1′ 的三角函数表时，可以用初始值和递推公式逐步生成正弦值。

把 4α 看作 2α 的二倍角时，sin4α=2sin2α​，空格处应填 ___。

正切二倍角公式为 \tan 2x=___。

简述为什么在已知 sin2α 求 sin4α、cos4α 时，可以把 2α 看作一个整体角。

在 △ABC 中，已知 cosA=54​，tanB=2。说明如何用“先求 tan(A+B)，再求二倍角”的思路求 tan(2A+2B)。

计算 cos28π​−sin28π​ 的值。

制作正弦函数表的递推公式中，若 αn​=αn−1​+1′，则 \sin\alpha_n=\sin1'\cos\alpha_{n-1}+___。

已知 sin2α=135​，且 4π​<α<2π​。若先根据 2α 的范围确定 cos2α 的符号，再利用二倍角公式求 cos4α，则 cos4α 的值是（ ）。