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如果已知任意角α， $β$ 的正弦、余弦，能由此推出 $α + β, α - β$ 的正弦、余弦吗？

下面，我们来探究 $cos (α - β)$ 与角 $α, β$ 的正弦、余弦之间的关系．

不妨令 $α \neq = 2 k π + β, k \in Z .$

如图5.5-1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点 $A (1, 0)$ ，以x轴非负半轴为始边作角 $α, β, α - β$ 它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_{1} (cos α, sin α)$ , $A_{1} (cos β, sin β), P (cos (α - β), sin (α - β))$ ．

连接 $A_{1} P_{1}, A P$ ．若把扇形OAP绕着点O旋转 $β$ 角，则点A，P分别与点 $A_{1}, P_{1}$ 重合．根据圆的旋转对称性可知， $A P$ 与 $A_{1} P_{1}$ 重合，从而 $A P = A_{1} P_{1}$ ，所以 $A P = A_{1} P_{1}$ ．

图5.5-1

任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．

根据两点间的距离公式，得

$[cos (α - β) - 1]^{2} + sin^{2} (α - β) = (cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2},$

化简得

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .$

平面上任意两点 $P_{1}$ $(x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 间的距离公式 $P_{1} P_{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ ．

当 $α = 2 k π + β (k \in Z)$ 时，容易证明上式仍然成立．

所以，对于任意角 $α, β$ 有

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .$

$(C_{(α - β)})$

此公式给出了任意角α， $β$ 的正弦、余弦与其差角 $α - β$ 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 $C_{(α - β)}$

例1利用公式 $C_{(α - β)}$ 证明：

(1) $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α;$ (2） $cos (π - α) = - cos α .$

证明：(1) $cos (\frac{π}{2} - α) = cos \frac{π}{2} cos α + sin \frac{π}{2} sin α = 0 + 1 \times sin α = sin α .$

(2) $cos (π - α) = cos π cos α + sin π sin α = (- 1) \times cos α + 0 = - cos α .$

例2已知 $sin α = \frac{4}{5}, α \in (\frac{π}{2}, π), cos β = - \frac{5}{13}$ ，β是第三象限角，求 $cos (α - β)$ 的值.解：由 $sin α = \frac{4}{5}, α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，得

$cos α = - 1 - sin^{2} α = - 1 - (\frac{4}{5})^{2} = - \frac{3}{5} .$

又由 $cos β = - \frac{5}{13},$ β是第三象限角，得

$sin β = - 1 - cos^{2} β = - 1 - (- \frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13} .$

所以

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{3}{5}) \times (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) = - \frac{33}{65} .$

练习

1.利用公式 $C_{(α - β)}$ 证明：

(1) $cos (\frac{3 π}{2} - α) = - sin α;$ (2) $cos (- α) = cos α .$

2．利用公式 $C_{(α - β)}$ 求 $cos 1 5^{\circ}$ 的值.

3.已知 $cos α = - \frac{3}{5}, α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $cos (\frac{π}{4} - α)$ 的值.

4.已知 $sin θ = \frac{15}{17}$ ，θ是第二象限角，求 $cos (θ - \frac{π}{3})$ 的值.

5.已知 $sin α = - \frac{2}{3}, α \in (π, \frac{3 π}{2}), cos β = \frac{3}{4}, β \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，求 $cos (β - α)$ 的值.

2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

思考

由公式 $C_{(α - β)}$ 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

下面以公式 $C_{(α - β)}$ 为基础来推导其他公式.

例如，比较 $cos (α - β)$ 与 $cos (α + β)$ ，并注意到 $α + β$ 与 $α - β$ 之间的联系： $α + β = α - (- β)$ ，则由公式 $C_{(α - β)}$ ，有

$cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = cos α cos β - sin α sin β .$

于是得到了两角和的余弦公式，简记作 $C_{(α + β)}$

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β . (C_{(α + β)})$

这里用到的是加法和减法的联系，也可用换元的观点来考虑：由于公式 $C_{(α - β)}$ 对于任意α， $β$ 都成立，那么把其中的 $β$ 换成 $- β$ 后，也一定成立．由此也可推得公式 $C_{(α + β)}$

探究

上面得到了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据 $C_{(α + β)}, C_{(α - β)}$ 及诱导公式五（或六），推导出用任意角 $α, β$ 的正弦、余弦表示 $sin (α + β), sin (α - β)$ 的公式吗？

通过推导，可以得到：

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,$

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β .$

$(S_{(α + β)})$

$(S_{(α - β)})$

练习题

对于任意角 $α, β$ ，差角的余弦公式 $C_{(α - β)}$ 是下列哪一个？

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α - β) = sin α cos β + cos α sin β

cos (α + β) = sin α sin β - cos α cos β

已知 $sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ； $cos β = - \frac{5}{13}$ ，且 $β$ 是第三象限角。则 $cos (α - β)$ 的值为多少？

\frac{63}{65}

- \frac{33}{65}

\frac{33}{65}

- \frac{63}{65}

由差角的余弦公式推导两角和的余弦公式时，若在 $cos (α - β)$ 中把 $β$ 换成 $- β$ ，并利用 $cos (- β) = cos β$ ， $sin (- β) = - sin β$ ，可得下列哪一式？

cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β + cos α sin β

下列说法中正确的是哪些？

A. 任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这叫做圆的旋转对称性。

B. 若单位圆上的两段弧在绕圆心旋转后重合，则对应弦长相等。

C. 平面上两点

P_{1} (x_{1}, y_{1})

，

P_{2} (x_{2}, y_{2})

间的距离为

(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

。

D. 在推导

cos (α - β)

时，圆的旋转对称性说明

A P = A_{1} P_{1}

。

E. 两点间距离公式只适用于单位圆上的点。

下列恒等式中正确的是哪些？

cos (\frac{π}{2} - α) = sin α

cos (π - α) = - cos α

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β

在差角余弦公式的几何推导中，由圆的旋转对称性可以知道，把扇形 $O A P$ 绕点 $O$ 旋转 $β$ 角后，线段 $A P$ 与线段 $A_{1} P_{1}$ 长度相等。

若 $cos α = - \frac{3}{5}$ 且 $α$ 是第二象限角，则 $sin α = - \frac{4}{5}$ 。

差角的余弦公式简记作 ___。

利用 $cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ 可得 $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=___。

说明如何由差角余弦公式推导两角和余弦公式，并写出结果公式。

已知角 $x$ 的终边与以原点 $O$ 为圆心、半径为 $2$ 的圆交于点 $B$ 。若用单位圆上的点坐标思想，并结合差角余弦公式，点 $B$ 的纵坐标可以化为下列哪一个表达式？

2 cos (\frac{π}{2} - x)

2 cos (π - x)

cos (\frac{π}{2} - x)

2 sin (\frac{π}{2} - x)

下列说法中，哪些可以由差角余弦公式与已学过的诱导公式或三角恒等变换思想共同说明？

cos (\frac{π}{2} - α) = sin α

cos (π - α) = - cos α

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β - sin α sin β

E. 诱导公式中的特殊角与任意角的关系，可以看作两角差公式的特殊情形

若 $sin α = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则利用象限确定符号和差角余弦公式可得 $cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{3 3 + 4}{10}$ 。

利用圆的旋转对称性可知单位圆上对应弧长相等，从而弦长相等；再用两点间距离公式化简，可以得到差角余弦公式： $\cos(\alpha-\beta)=___$ 。

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2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

思考

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练习题

对于任意角 α,β，差角的余弦公式 C(α−β)​ 是下列哪一个？

已知 sinα=54​，且 α∈(2π​,π)；cosβ=−135​，且 β 是第三象限角。则 cos(α−β) 的值为多少？

由差角的余弦公式推导两角和的余弦公式时，若在 cos(α−β) 中把 β 换成 −β，并利用 cos(−β)=cosβ，sin(−β)=−sinβ，可得下列哪一式？