综合运用

综合运用

7. 根据下列条件求函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-4\cos 2x+3\cos \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ 的值：(1) $x=\frac{\pi }{4}$；(2) $x=\frac{3\pi }{4}$。

8. 确定下列式子的符号：(1) $\tan 125^{\circ }\sin 273^{\circ }$；(2) $\frac{\tan 108^{\circ }}{\cos 305^{\circ }}$；(3) $\sin \frac{5\pi }{4}\cos \frac{4\pi }{5}\tan \frac{11\pi }{6}$；(4) $\frac{\cos \frac{5\pi }{6}\tan \frac{11\pi }{6}}{\sin \frac{2\pi }{3}}$。

9. 求下列三角函数值（可用计算工具，第(1)(3)(4)题精确到0.0001）：(1) $\sin \left(-\frac{67\pi }{12}\right)$；(2) $\tan \left(-\frac{15\pi }{4}\right)$；(3) $\cos 398^{\circ }13^{\prime }$；(4) $\tan 766^{\circ }15^{\prime }$。

10. 求证：（1）角θ为第二或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta \tan \theta <0$；（2）角θ为第三或第四象限角的充要条件是 $\cos \theta \tan \theta <0$；（3）角θ为第一或第四象限角的充要条件是 $\frac{\sin \theta }{\tan \theta }>0$；（4）角θ为第一或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta \cos \theta >0$。

11. 已知 $\sin x=-\frac{1}{3}$，求 $\cos x$，$\tan x$ 的值。

12. 已知 $\tan \alpha =\sqrt{3}$，$\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$，求 $\cos \alpha -\sin \alpha$ 的值。

13. 已知角α的终边不在坐标轴上，

（1）用 $\cos \alpha$ 表示 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$；

（2）用 $\sin \alpha$ 表示 $\cos \alpha$，$\tan \alpha$。

14. 求证：

(1) $\frac{1-2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$；

(2) ${\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\tan }^2\alpha {\sin }^2\alpha$；

(3) $(\cos \beta -1{)}^2+{\sin }^2\beta =2-2\cos \beta$；

(4) ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$。

15. 已知 $\tan \alpha =2$，求 $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ 的值。

拓广探索

16. 化简 $\sqrt{\frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$，其中α为第二象限角。

17. 从本节的例7可以看出，$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ 就是 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 的一个变形。你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？

18. （1）分别计算 ${\sin }^4\frac{\pi }{3}-{\cos }^4\frac{\pi }{3}$ 和 ${\sin }^2\frac{\pi }{3}-{\cos }^2\frac{\pi }{3}$ 的值，你有什么发现？

（2）任取一个α的值，分别计算 ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$，${\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$，你又有什么发现？

（3）证明：$\forall x\in \mathbf{R}$，${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x$。

阅读与思考

三角学与天文学

三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法。在1450年以前的三角学主要是球面三角，这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，这种“量天的学问”确实太诱人了。后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。

在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus，1436—1476)．他在1464年完成的5卷本的著作《论各种三角形》，是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学．前2卷中，他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后3卷中，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础，对16世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响.

由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数，而且函数值也限定在正数范围内，因而不能推出应有的三角公式，导致计算的困难．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G.J.Rheticus，1514—1576）将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来．他还采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），制定了更为精确的正弦、正切、正割表．这些工作都极大推进了三角学的发展．实际上，由于天文学研究的需要，制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标，这大大推动了三角学的发展.

法国数学家韦达（F.Viete，1540—1603）所做的平面三角与球面三角系统化工作，使得三角学得到进一步发展．他总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作.

16 世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．后来，在微积分、物理学的研究和应用（如对振动、声音传播等的研究）中，三角学又找到了新的用武之地.

5.3 诱导公式

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.

探究1

如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P_1$

（1）作 $P_1$ 关于原点的对称点 $P_2$ ，以 $O{P}_2$ 为终边的角 $\beta$ 与角 $\alpha$ 有什么关系？角 $\beta$ ， $\alpha$ 的三角函数值之间有什么关系？

(2）如果作 $P_1$ 关于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）的对称点 $P_3$ （或 $P_4$ ) ，那么又可以得到什么结论？

图5.3-1

下面，借助单位圆的对称性进行探究.

如图5.3-2，以 $O{P}_2$ 为终边的角 $\beta$ 都是与角 $\pi +\alpha$ 终边相同的角，即 $\beta =2k\pi +\left(\pi +\alpha \right)\left(k\in \mathbf{Z}\right)$ ．因此，只要探究角 $\pi +\alpha$ 与 $\alpha$ 的三角函数值之间的关系即可.

设 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ .因为 $P_2$ 是点 $P_1$ 关于原点的对称点，所以

$$x_2=-x_1,y_2=-y_1.$$

根据三角函数的定义，得

$$\sin \alpha =y_1,\cos \alpha =x_1,\tan \alpha =\frac{y_1}{x_1};$$

$$\sin (\pi +\alpha )=y_2,\cos (\pi +\alpha )=x_2,\tan (\pi +\alpha )=\frac{y_2}{x_2}.$$

从而得

图5.3-2

角 $\pi +\alpha$ 还可以看作是角 $\alpha$ 的终边按逆时针方向旋转角 $\pi$ 得到的.