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综合运用

5．选择题

(1) 已知集合 $A = {y ∣ y = lo g_{2} x, x > 1}$ ， $B = {y ∣ y = \frac{1}{2 ^{x}}, x > 1}$ ，则 $A \cap B = ()$ (A) ${y ∣ 0 < y < \frac{1}{2}}$ (B) ${y ∣ 0 < y < 1}$ (C) ${y ∣ \frac{1}{2} < y < 1}$ (D)

(2) 已知 $f (x) = ∣ l g x ∣$ ，若 $a = f (\frac{1}{4}), b = f (\frac{1}{3}), c = f (2)$ ，则 ( ) (A) $a < b < c$ (B) $b < c < a$ (C) $c < a < b$ (D) $c < b < a$

(3) 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x, g (x) = lo g_{2} x + x, h (x) = x^{3} + x$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为 ( ) (A) $a > b > c$ (B) $b > c > a$ (C) $c > a > b$ (D) $b > a > c$

6．设 $f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ ，求证： (1) $[g (x)]^{2} - [f (x)]^{2} = 1$ ； (2) $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ； (3) $g (2 x) = [g (x)]^{2} + [f (x)]^{2}$ 。

7．指数函数 $y = (\frac{b}{a})^{x}$ 的图象如图所示，求二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 图象顶点的横坐标的取值范围。

(第7题)

8．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染。主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%。专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？

9．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为

$P = P_{0} e^{- k t}$

其中 $P_{0}, k$ 是正的常数。如果在前5h消除了10%的污染物，那么

(1) 10h后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ (3) 画出P关于t变化的函数图象。

10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式

$θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$

求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。现有 $6 2^{\circ} C$ 的物体，放在 $1 5^{\circ} C$ 的空气中冷却，1min以后物体的温度是 $5 2^{\circ} C$ 。

(1) 求k的值（精确到0.01）； (2) 若要将物体的温度降为 $4 2^{\circ} C, 3 2^{\circ} C$ ，求分别需要冷却的时间（精确到0.1min）。

拓广探索

11．已知函数 $f (x) = lo g_{a} (x + 1)$ , $g (x) = lo g_{a} (1 - x) (a > 0, a \neq = 1)$

(1) 求函数 $f (x) + g (x)$ 的定义域； (2) 判断函数 $f (x) + g (x)$ 的奇偶性，并说明理由。

12．对于函数 $f (x) = a - \frac{2}{2 ^{x} + 1} (a \in R)$ ，

(1) 探索函数 $f (x)$ 的单调性； (2) 是否存在实数 $a$ 使函数 $f (x)$ 为奇函数？

13．如图，函数 $y = f (x)$ 的图象由曲线段OA和直线段AB构成。

(第13题)

(1) 写出函数 $y = f (x)$ 的一个解析式； (2) 提出一个能满足函数 $y = f (x)$ 图象变化规律的实际问题。

建立函数模型解决实际问题

我们知道，用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型。然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型。最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的。在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据。

一、数学建模活动的一个实例

1．观察实际情景，发现和提出问题

中国茶文化博大精深。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感。那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题。为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型。

2．收集数据

我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据。

例如，某研究人员每隔1min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据。

表1

时间/min	0	1	2	3	4	5
水温/℃	85.00	79.19	74.75	71.19	68.19	65.10

3．分析数据

茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型。为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型。

设茶水温度从85℃开始，经过x min后的温度为y ℃。根据表1，画散点图（图1）。

图1

实际上，你可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型。

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律。

4．建立模型

根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60。

为了求出温度的衰减比例a，可从第2min的温度数据开始，计算每分(y-25)的值与上一分(y-25)值的比值，列出表2。

表2

x	0	1	2	3	4	5
y-25	60.00	54.19	49.75	46.19	43.19	40.10
比值		0.9032	0.9181	0.9284	0.9351	0.9285

能否直接将表1中的一组数据代入 $y = 60 a^{x} + 25$ 求a？这与用比值的平均值作为a建立函数模型有什么差异？

计算各比值的平均值，得

$a = \frac{1}{5} (0.9032 + 0.9181 + 0.9284 + 0.9351 + 0.9285) = 0.9227.$

我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型

$y = 60 \times 0.922 7^{x} + 25 (x ⩾ 0) . (①)$

练习题

用函数模型解决实际问题的一般流程中，最合理的顺序是（）。

A. 收集数据

\to

解释实际意义

\to

选择函数类型

\to

分析变量关系

\to

求解模型

B. 分析实际变化过程

\to

选择适当函数类型建模

\to

运算推理求解

\to

用模型解说明实际问题

C. 先假设任意函数

\to

直接代入数据

\to

得到答案

\to

再分析实际问题

D. 画出函数图象

\to

忽略变量单位

\to

求出参数

\to

不需要检验实际意义

某绿茶在 $2 5^{\circ} C$ 室温下由 $8 5^{\circ} C$ 开始冷却，若选用模型 $y = k a^{x} + 25 (0 < a < 1, x \geq 0)$ ，则由初始条件 $x = 0, y = 85$ 可得 $k$ 的值为（）。

25

60

85

110

已知茶水冷却模型为 $y = 60 \times 0.922 7^{x} + 25 (x \geq 0)$ 。若最佳饮用温度为 $6 0^{\circ} C$ ，则需要放置的时间 $x$ 满足的方程是（）。

60 \times 0.922 7^{x} + 25 = 60

60 \times 0.922 7^{x} = 60

0.922 7^{x} + 25 = 60

60 \times 0.9227 x + 25 = 60

关于建立茶水温度随时间变化的函数模型，下列说法正确的有（）。

A. 没有现成函数模型时，可以先用秒表、温度计等工具收集数据

B. 画散点图有助于直观分析数据变化规律并选择函数类型

C. 若茶水最终接近室温

2 5^{\circ} C

，模型中可出现常数项

25

表示温度下限

D. 信息技术只能用于画图，不能用于函数拟合

E. 建模时不需要考虑实际问题中的变量和常量

某污染物含量满足 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0} > 0, k > 0$ 。下列说法正确的有（）。

A. 当

t = 0

时，

P = P_{0}

B. 随着

t

增大，

P

按指数衰减方式减小

C. 若前

5 h

消除了

10%

，则

5 h

后剩余比例为

0.9

D. 若前

5 h

消除了

10%

，则

10 h

后剩余比例一定为

0.8

E. 该模型属于指数函数模型在实际问题中的应用

在茶水冷却建模中，若选择 $y = k a^{x} + 25 (0 < a < 1)$ ，其中 $25$ 的实际含义是室温，也体现了茶水温度降至室温后不能继续低于室温这一事实。

用相邻时刻的 $y - 25$ 比值估计茶水冷却模型 $y = 60 a^{x} + 25$ 中的 $a$ ，是因为在理想指数模型中，相邻两分钟的 $y - 25$ 的比值应近似为同一个常数 $a$ 。

在建立实际问题的函数模型时，只要有一组数据，就一定可以直接确定唯一正确的函数模型，不需要画散点图或分析变化规律。

当没有现成数据可用于建立函数模型时，通常需要先___。

牛顿冷却型模型 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 中， $θ_{0}$ 表示___。

表中给出茶水温度数据： $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 时， $y = 85.00, 79.19, 74.75, 71.19, 68.19, 65.10$ 。为什么不宜只凭一个数据点直接确定模型 $y = 60 a^{x} + 25$ 中的 $a$ ，而可以用多个相邻时刻的 $y - 25$ 比值的平均值估计 $a$ ？

某物体温度满足 $θ = 15 + 47 e^{- k t}$ ，且 $1 min$ 后温度为 $5 2^{\circ} C$ 。请说明如何建立求 $k$ 的方程，并指出该模型属于哪类实际函数模型。

在 $2 5^{\circ} C$ 室温下，某杯茶水初温为 $8 5^{\circ} C$ ，散点图显示温度随时间下降且逐渐接近室温。根据函数建模流程和不同函数增长方式的特点，较合适的近似模型是（）。

y = 85 - k t (k > 0)

y = k a^{t} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, t \geq 0)

y = k lo g_{a} t + 25 (a > 0, a \neq = 1)

y = k t^{2} + 25 (k > 0)

研究“茶水从 $8 5^{\circ} C$ 降到 $6 0^{\circ} C$ 大约需要多久”时，下列做法符合函数建模基本流程的有（）。

A. 用秒表和温度计收集不同时间

t

对应的水温

y

的数据

B. 画出散点图，观察水温随时间变化的趋势，以帮助选择函数类型

C. 不分析数据变化规律，直接假设模型一定是

y = k t + b

D. 根据室温下限和散点图特点，选择类似

y = k a^{t} + 25

的指数衰减模型

E. 建立模型后，用模型求解

y = 60

对应的

t

，并解释实际意义

在模型 $y = k a^{x} + 25$ 中，若 $x = 0$ 时 $y = 85$ ， $x = 1$ 时 $y = 79$ ，则用相邻两时刻的温差比值估计衰减比例， $a=\frac{79-25}{85-25}=___$ 。

已建立茶水冷却模型 $y = 60 \times 0.922 7^{x} + 25 (x \geq 0)$ 。若要求茶水降到 $6 0^{\circ} C$ 的时间，可令 $F (x) = 60 \times 0.922 7^{x} + 25 - 60$ ；因为 $F (6) > 0$ 且 $F (7) < 0$ ，所以根据函数零点存在思想可判断所需时间在 $6$ min到 $7$ min之间。

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建立函数模型解决实际问题

一、数学建模活动的一个实例

1．观察实际情景，发现和提出问题

2．收集数据

3．分析数据

4．建立模型

练习题

用函数模型解决实际问题的一般流程中，最合理的顺序是（ ）。

某绿茶在 25∘C 室温下由 85∘C 开始冷却，若选用模型 y=kax+25(0<a<1,x≥0)，则由初始条件 x=0,y=85 可得 k 的值为（ ）。

已知茶水冷却模型为 y=60×0.9227x+25(x≥0)。若最佳饮用温度为 60∘C，则需要放置的时间 x 满足的方程是（ ）。

关于建立茶水温度随时间变化的函数模型，下列说法正确的有（ ）。

某污染物含量满足 P=P0​e−kt，其中 P0​>0,k>0。下列说法正确的有（ ）。

在茶水冷却建模中，若选择 y=kax+25(0<a<1)，其中 25 的实际含义是室温，也体现了茶水温度降至室温后不能继续低于室温这一事实。

用相邻时刻的 y−25 比值估计茶水冷却模型 y=60ax+25 中的 a，是因为在理想指数模型中，相邻两分钟的 y−25 的比值应近似为同一个常数 a。

在建立实际问题的函数模型时，只要有一组数据，就一定可以直接确定唯一正确的函数模型，不需要画散点图或分析变化规律。

当没有现成数据可用于建立函数模型时，通常需要先___。

牛顿冷却型模型 θ=θ0​+(θ1​−θ0​)e−kt 中，θ0​ 表示___。

表中给出茶水温度数据：x=0,1,2,3,4,5 时，y=85.00,79.19,74.75,71.19,68.19,65.10。为什么不宜只凭一个数据点直接确定模型 y=60ax+25 中的 a，而可以用多个相邻时刻的 y−25 比值的平均值估计 a？

某物体温度满足 θ=15+47e−kt，且 1min 后温度为 52∘C。请说明如何建立求 k 的方程，并指出该模型属于哪类实际函数模型。

在25∘C室温下，某杯茶水初温为85∘C，散点图显示温度随时间下降且逐渐接近室温。根据函数建模流程和不同函数增长方式的特点，较合适的近似模型是（ ）。

研究“茶水从85∘C降到60∘C大约需要多久”时，下列做法符合函数建模基本流程的有（ ）。

在模型y=kax+25中，若x=0时y=85，x=1时y=79，则用相邻两时刻的温差比值估计衰减比例，a=\frac{79-25}{85-25}=___。

已建立茶水冷却模型y=60×0.9227x+25(x≥0)。若要求茶水降到60∘C的时间，可令F(x)=60×0.9227x+25−60；因为F(6)>0且F(7)<0，所以根据函数零点存在思想可判断所需时间在6 min到7 min之间。

用函数模型解决实际问题的一般流程中，最合理的顺序是（）。

某绿茶在 $2 5^{\circ} C$ 室温下由 $8 5^{\circ} C$ 开始冷却，若选用模型 $y = k a^{x} + 25 (0 < a < 1, x \geq 0)$ ，则由初始条件 $x = 0, y = 85$ 可得 $k$ 的值为（）。

已知茶水冷却模型为 $y = 60 \times 0.922 7^{x} + 25 (x \geq 0)$ 。若最佳饮用温度为 $6 0^{\circ} C$ ，则需要放置的时间 $x$ 满足的方程是（）。

关于建立茶水温度随时间变化的函数模型，下列说法正确的有（）。

某污染物含量满足 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0} > 0, k > 0$ 。下列说法正确的有（）。

在茶水冷却建模中，若选择 $y = k a^{x} + 25 (0 < a < 1)$ ，其中 $25$ 的实际含义是室温，也体现了茶水温度降至室温后不能继续低于室温这一事实。

用相邻时刻的 $y - 25$ 比值估计茶水冷却模型 $y = 60 a^{x} + 25$ 中的 $a$ ，是因为在理想指数模型中，相邻两分钟的 $y - 25$ 的比值应近似为同一个常数 $a$ 。

牛顿冷却型模型 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 中， $θ_{0}$ 表示___。

表中给出茶水温度数据： $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 时， $y = 85.00, 79.19, 74.75, 71.19, 68.19, 65.10$ 。为什么不宜只凭一个数据点直接确定模型 $y = 60 a^{x} + 25$ 中的 $a$ ，而可以用多个相邻时刻的 $y - 25$ 比值的平均值估计 $a$ ？

某物体温度满足 $θ = 15 + 47 e^{- k t}$ ，且 $1 min$ 后温度为 $5 2^{\circ} C$ 。请说明如何建立求 $k$ 的方程，并指出该模型属于哪类实际函数模型。

在 $2 5^{\circ} C$ 室温下，某杯茶水初温为 $8 5^{\circ} C$ ，散点图显示温度随时间下降且逐渐接近室温。根据函数建模流程和不同函数增长方式的特点，较合适的近似模型是（）。

研究“茶水从 $8 5^{\circ} C$ 降到 $6 0^{\circ} C$ 大约需要多久”时，下列做法符合函数建模基本流程的有（）。

在模型 $y = k a^{x} + 25$ 中，若 $x = 0$ 时 $y = 85$ ， $x = 1$ 时 $y = 79$ ，则用相邻两时刻的温差比值估计衰减比例， $a=\frac{79-25}{85-25}=___$ 。