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1.已知1650 年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970 年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650 年的2倍？什么时候世界人口是1970 年的2倍?

（2）实际上，1850 年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？

3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？

在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.

例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数 $y = 40 (x \in N^{*})$ 进行描述；方案二可以用函数 $y = 10 x (x \in N^{*})$ 进行描述；方案三可以用函数 $y = 0.4 \times 2^{x - 1} (x \in N^{*})$ 进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5).

表4.5-5

x	方案一		方案二		方案三
x	y	增加量/元	y	增加量/元	y	增加量/元
1	40		10		0.4
2	40	0	20	10	0.8	0.4
3	40	0	30	10	1.6	0.8
4	40	0	40	10	3.2	1.6
5	40	0	50	10	6.4	3.2
6	40	0	60	10	12.8	6.4
7	40	0	70	10	25.6	12.8
8	40	0	80	10	51.2	25.6
9	40	0	90	10	102.4	51.2
10	40	0	100	10	204.8	102.4
…	…	…	…	…	…	…
30	40	0	300	10	214748364.8	107374182.4

再画出三个函数的图象（图4.5-7).

图4.5-7

练习题

某投资方案“每天回报固定为 $40$ 元”。设第 $x$ 天所得回报为 $y$ 元，且 $x \in N^{*}$ ，则该方案的函数模型是（）。

y = 40 x

y = 40

y = 0.4 \times 2^{x - 1}

y = 10 x + 40

方案三“第一天回报 $0.4$ 元，以后每天的回报比前一天翻一番”。设第 $x$ 天所得回报为 $y$ 元，且 $x \in N^{*}$ ，下列模型正确的是（）。

y = 0.4 x

y = 0.4 \times 2^{x}

y = 0.4 \times 2^{x - 1}

y = 2 \times 0. 4^{x - 1}

比较三个投资模型 $y = 40$ ， $y = 10 x$ ， $y = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 在第 $10$ 天的回报，最大的是（）。

A. 方案一，因为

40 > 10

B. 方案二，因为

10 \times 10 = 100

C. 方案三，因为

0.4 \times 2^{9} = 204.8

D. 三个方案一样多

关于三个投资方案的函数模型，下列说法正确的有（）。

A. 方案一可用

y = 40

描述，是常数函数

B. 方案二可用

y = 10 x

描述，是一次函数

C. 方案三可用

y = 0.4 \times 2^{x - 1}

描述，是指数型函数

D. 方案一、方案二、方案三的每日增加量都相同

E. 通过表格或函数图象可以比较三个方案的增长情况

判断正误：在投资方案比较中，只要某方案第一天回报最高，就一定应选择该方案。

判断正误：模型 $y = 10 x$ 表示每天回报比前一天多 $10$ 元，因此它是增函数；模型 $y = 40$ 表示每天回报不变，因此不是增函数。

方案二“第一天回报 $10$ 元，以后每天比前一天多回报 $10$ 元”，设第 $x$ 天所得回报为 $y$ 元，则函数模型为 ___。

若要确定方案三从第几天开始超过方案二，可把问题转化为求方程 $0.4 \times 2^{x - 1} = 10 x$ 的解，等价于求函数 $f (x) = 0.4 \times 2^{x - 1} - 10 x$ 的 ___。

为什么在比较三个投资方案时，可以先建立函数模型，再借助表格或图象分析？

已知方案三第 $8$ 天回报为 $51.2$ 元，第 $9$ 天回报为 $102.4$ 元。若要用二分法近似判断方案三何时超过方案二，应如何构造函数并选取一个可用的初始区间？

某投资方案第 $x$ 天回报为 $y = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 元。若要判断它首次超过每天固定回报 $40$ 元的方案，可把问题转化为求哪个函数在正整数附近的零点或符号变化？

f (x) = 0.4 \times 2^{x - 1} - 40

f (x) = 40 - 10 x

f (x) = 0.4 \times 2^{x} + 40

f (x) = 10 x - 0.4 \times 2^{x - 1}

关于三个投资方案 $y = 40$ ， $y = 10 x$ ， $y = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 与实际函数模型应用的说法，正确的有哪几项？

A. 方案一可用常数函数

y = 40

描述。

B. 方案二可用一次函数

y = 10 x

描述，且每天回报随

x

增大而增大。

C. 方案三可用指数函数

y = 0.4 \times 2^{x - 1}

描述，增长速度在长期可能明显超过一次函数。

D. 只要建立了函数模型，就一定能完全符合所有实际情况，不需要考虑适用条件。

E. 比较方案时，可以借助表格、图象或信息技术分析函数的增长情况。

判断正误：马尔萨斯人口模型 $y = y_{0} e^{r t}$ 和投资方案三 $y = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 都体现指数型变化，因此在实际预测中只要增长率或倍增规律确定，就可以无限期准确预测实际结果。

比较方案二 $y = 10 x$ 与方案三 $y = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 哪一天回报相等时，可将方程 $10 x = 0.4 \times 2^{x - 1}$ 转化为函数 $f (x) = 10 x - 0.4 \times 2^{x - 1}$ 的 ___ 问题。

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练习题

某投资方案“每天回报固定为 40 元”。设第 x 天所得回报为 y 元，且 x∈N∗，则该方案的函数模型是（ ）。

方案三“第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番”。设第 x 天所得回报为 y 元，且 x∈N∗，下列模型正确的是（ ）。

比较三个投资模型 y=40，y=10x，y=0.4×2x−1 在第 10 天的回报，最大的是（ ）。

关于三个投资方案的函数模型，下列说法正确的有（ ）。

判断正误：在投资方案比较中，只要某方案第一天回报最高，就一定应选择该方案。

判断正误：模型 y=10x 表示每天回报比前一天多 10 元，因此它是增函数；模型 y=40 表示每天回报不变，因此不是增函数。

方案二“第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元”，设第 x 天所得回报为 y 元，则函数模型为 ___。

若要确定方案三从第几天开始超过方案二，可把问题转化为求方程 0.4×2x−1=10x 的解，等价于求函数 f(x)=0.4×2x−1−10x 的 ___。