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中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

我国古代数学家已比较系统地解决了某些类型方程求解的问题．约公元50～100 年编成的《九章算术》，已经记载有开平方、开立方的开方方法，这些开方问题与求解两项方程，如求解 $x^{2} = a, x^{3} = b$ 正根的方法是一致的；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程．同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根.

国外数学家对方程求解也有很多研究．9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khowarizmi，约780—850）给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia，约1499—1557）给出了三次方程的一般解法；1545年，意大利数学家卡尔达诺（G.Cardano，1501—1576）的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里（L.Ferrari，1522—1565）的四次方程的一般解法.

数学史上，人们曾希望得到一般的五次及以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1778年，法国数学大师拉格朗日（J.-L.Lagrange，1736—1813)提出了五次方程不存在根式解的猜想．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N．H.Abel，1802—1829）成功地证明了五次及以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811—1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还给出了一个代数方程能用根式求解的充要条件，他完全解决了高次方程的求解问题，并创立了对代数学发展影响深远的“伽罗瓦理论”。

虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次及以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如本章介绍的二分法，就是一种常见的利用计算技术的数值解法．除了二分法，牛顿法、拟牛顿法、弦截法等也都是典型的数值解法．关于这些方法，感兴趣的同学还可以查阅相关资料作进一步的了解。

4.5.3 函数模型的应用

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?

例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型

$y = y_{0} e^{r t},$

其中t表示经过的时间， $y_{0}$ 表示 $t = 0$ 时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数.

尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？

（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959 年末的人口总数分别为55196万和67207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959 年期间的具体人口增长模型.

（2）利用（1）中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.

（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13 亿?

分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量 $y_{0}$ 和增长率r.

解：（1）由题意可设1950 年为t=0，则 $y_{0} = 55196$ ，根据马尔萨斯人口增长模型，有

$67207 = 55196 e^{9 r},$

由计算工具得

$r \approx 0.021876.$

因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959 年期间的人口增长模型为

$y = 55196 e^{0.021876 t}, t \in [0, 9] .$

（2）分别取t=1，2，…，8，由 $y = 55196 e^{0.021876 t}$ 可得我国在1951～1958 年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如表4.5-4所示.

表4.5-4

年份	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
计算所得人口总数/万	56417	57665	58940	60243	61576	62938	64330	65753
实际人口总数/万	56300	57482	58796	60266	61465	62828	64563	65994

根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 $y = 55196 e^{0.021876 t} (t \in [0, 9])$ 的图象（图4.5-6).

图4.5-6

由表4.5-4和图4.5-6可以看出，所得模型与1950～1959 年的实际人口数据基本吻合.

（3）将 $y = 130000$ 代入

$y = 55196 e^{0.021876 t},$

由计算工具得

$t \approx 39.16.$

所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950 年后的第 40年（即1990年)，我国的人口就已达到13亿.

思考

事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到 2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？

因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20 世纪70 年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.

在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.

下面来解决章引言中的问题.

例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 $y = k a^{x} (k \in R, 且 k \neq = 0; a > 0, 且 a \neq = 1)$ 建立数学模型.

解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为 $p (0 < p < 1)$ ，经过x年后，残余量为y．根据问题的实际意义，可选择如下模型：

$y = k (1 - p)^{x} (k \in R, 且 k \neq = 0; 0 < p < 1; x > 0) .$

由碳14的半衰期为5730年，得

$k (1 - p)^{5730} = \frac{1}{2} k .$

于是

$1 - p = 5730 \frac{1}{2},$

所以

$y = k (5730 \frac{1}{2})^{x} .$

由样本中碳14 的残余量约为初始量的55.2%可知，

$k (5730 \frac{1}{2})^{x} = 55.2% k,$

即

$(5730 \frac{1}{2})^{x} = 0.552.$

解得

$x = lo g_{5730 \frac{1}{2}} 0.552.$

由计算工具得

$x \approx 4912.$

因为 2010 年之前的4912年是公元前 2903年，所以推断此水坝大概是公元前 2903年建成的.

练习题

关于我国古代方程求解发展的说法，哪一项正确？

A. 《九章算术》记载的开平方、开立方方法与求解

x^{2} = a

、

x^{3} = b

的正根方法相一致

B. 王孝通在13世纪提出了“正负开方术”

C. 秦九韶在11世纪提出了“增乘开方法”

D. 贾宪的“正负开方术”只能求一次方程的正根

下列关于国外代数方程求解发展的对应关系，正确的是哪一项？

A. 花拉子米——给出三次方程的一般解法

B. 塔尔塔利亚——给出三次方程的一般解法

C. 费拉里——证明五次及以上一般方程没有根式解

D. 阿贝尔——创立伽罗瓦理论

根据1950年末人口 $55196$ 万和1959年末人口 $67207$ 万，设1950年为 $t = 0$ ，用马尔萨斯模型 $y = y_{0} e^{r t}$ 建模。确定 $r$ 应满足的方程是哪个？

55196 = 67207 e^{9 r}

67207 = 55196 e^{9 r}

67207 = 55196 e^{r}

55196 = 67207 e^{r}

下列哪些说法体现了“数值解法”和“根式解法”在方程求解中的区别？

A. 五次及以上一般代数方程没有根式解，这是阿贝尔证明的重要结论

B. 伽罗瓦给出了代数方程能用根式求解的充要条件

C. 二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法都是典型的数值解法

D. 只要方程不能用根式求解，就一定无法求出任何近似解

E. 指数方程、对数方程等超越方程可借助数值方法求近似解

关于函数模型在实际问题中的应用，下列说法正确的有哪几项？

A. 函数可以作为描述客观世界变化规律的数学模型

B. 不同变化规律通常需要选择不同的函数模型来刻画

C. 只要建立了函数模型，其预测结果就一定与未来实际情况完全一致

D. 用实际数据与模型计算值进行比较，可以检验模型是否基本符合实际

E. 使用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件

马尔萨斯人口增长模型 $y = y_{0} e^{r t}$ 中， $y_{0}$ 表示 $t = 0$ 时的人口数， $r$ 表示人口增长率，并且 $r$ 是常数。

若用1950～1959年的马尔萨斯人口模型预测我国人口达到13亿的时间，得到约1990年；但实际到2005年才突破13亿，这说明所有指数函数模型都不能用于人口问题。

碳14年代测定中，若设初始量为 $k$ ，衰减率为 $p$ ，经过 $x$ 年后的残余量为 $y$ ，则可建立指数衰减模型 $y =___$ 。

碳14的半衰期为5730年。说明如何由半衰期得到碳14衰减模型 $y = k (5730 \frac{1}{2})^{x}$ 。

某碳14样本残留量为初始量的 $55.2%$ ，已知碳14衰减模型为 $y = k (5730 \frac{1}{2})^{x}$ 。写出求样本年代 $x$ 的方程，并说明若检测年份为2010年且 $x \approx 4912$ ，可推断建成年代大约是什么时候。

用马尔萨斯人口增长模型 $y = 55196 e^{0.021876 t}$ 预测人口达到 $130000$ 万时，可把问题转化为求函数 $f (t) = 55196 e^{0.021876 t} - 130000$ 的零点。若用二分法，已知 $f (39) < 0$ ， $f (40) > 0$ ，下列哪一项最适合作为初始区间？

[0, 9]

，因为模型是在

1950

～

1959

年建立的

[39, 40]

，因为

f (39) f (40) < 0

[1950, 1990]

，因为年份应直接作为自变量

[0, 40]

，因为

t = 40

对应

1990

年

关于用函数模型和二分法研究实际问题，下列说法正确的有哪几项？

A. 建立具体的马尔萨斯人口模型

y = y_{0} e^{r t}

时，需要确定初始量

y_{0}

和增长率

r

B. 若用方程

55196 e^{0.021876 t} = 130000

求预测时间，可令

f (t) = 55196 e^{0.021876 t} - 130000

，把方程求解转化为函数零点问题

C. 只要一个函数模型与某一段实际数据基本吻合，就一定能长期准确预测未来

D. 若连续函数

f (x)

在区间

[a, b]

上满足

f (a) f (b) < 0

，则可用二分法逐步缩小零点所在范围

E. 用实际数据检验函数模型是否吻合，是函数模型应用中的一个重要环节

虽然五次及以上一般代数方程没有根式解，但只要能把某个具体方程转化为连续函数 $f (x)$ 的零点问题，并找到区间 $[a, b]$ 使 $f (a) f (b) < 0$ ，就可以用二分法求它的近似解。

在碳 $14$ 年代测定中，若由模型 $y = k (5730 \frac{1}{2})^{x}$ 得到方程 $(5730 \frac{1}{2})^{x} = 0.552$ ，也可令 $f (x) = (5730 \frac{1}{2})^{x} - 0.552$ ，通过不断缩小零点所在区间的 ___ 求 $x$ 的近似值。

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