正在学习

4.5.2用二分法求方程的近似解

我们已经知道，函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.

取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得 $f (2.5) \approx - 0.084$ 。因为 $f (2.5) f (3) < 0$ ，所以零点在区间（2.5，3）内.

大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.

一般地，称 $x = \frac{a + b}{2}$ 为区间（a，b）的中点.

再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为 $f (2.5) f (2.75) < 0$ 所以零点在区间(2.5，2.75)内.

由于 $(2, 3) \supset (2.5, 3) \supset (2.5, 2.75)$ ，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表4.5-2和图4.5-3)．这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.

表4.5-2

零点所在区间	中点的值	中点函数近似值
(2，3)	2.5	-0.084
(2.5，3)	2.75	0.512
(2.5，2.75)	2.625	0.215
(2.5，2.625)	2.562 5	0.066
(2.5，2.562 5)	2.531 25	-0.009
(2.53125，2.562 5)	2.546 875	0.029
(2.53125，2.546875)	2.5390625	0.010
(2.53125，2.5390625)	2.535156 25	0.001

图4.5-3

例如，当精确度为0.01时，因为 $∣2.5390625 - 2.53125∣ = 0.0078125 < 0.01$ ，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将 $x = 2.53125$ 作为函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 零点的近似值，也即方程 $ln x + 2 x - 6 = 0$ 的近似解.

对于在区间 $[a, b]$ 上图象连续不断且 $f (a) f (b) < 0$ 的函数 $y = f (x)$ ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（bisection method).

给定精确度ε，用二分法求函数 $y = f (x)$ 零点 $x_{0}$ 的近似值的一般步骤如下：

1．确定零点 $x_{0}$ 的初始区间 $[a, b]$ ，验证 $f (a) f (b) < 0.$

2.求区间 $(a, b)$ 的中点c.

3.计算f（c)，并进一步确定零点所在的区间：

（1）若 $f (c) = 0$ （此时 $x_{0} = c)$ ，则c就是函数的零点；

(2）若 $f (a) f (c) < 0$ （此时 $x_{0} \in (a, c))$ ，则令 $b = c$

（3）若 $f (c) f (b) < 0$ （此时 $x_{0} \in (c, b))$ ，则令 $a = c$

4．判断是否达到精确度ε：若 $∣ a - b ∣ < ε$ ,则得到零点近似值a (或b)；否则重复步骤 $2 \sim 4$

为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由 $∣ a - b ∣ < ε$ 可知，区间 $[a, b]$ 中任意一个值都是零点 $x_{0}$ 满足精确度ε的近似值（想一想，为什么).

由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

例2借助信息技术，用二分法求方程 $2^{x} + 3 x = 7$ 的近似解(精确度为0.1).

解：原方程即 $2^{x} + 3 x - 7 = 0$ 令 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ ，用信息技术画出函数 $y = f (x)$ 的图象（图4.5-4)，并列出它的对应值表(表4.5-3).

表4.5-3

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	-6	-2	3	10	21	40	75	142	273

观察图4.5-4或表4.5-3，可知 $f (1) f (2) < 0$ 说明该函数在区间（1，2）内存在零点 $x_{0}$

图4.5-4

取区间（1，2）的中点 $x_{1} = 1.5$ ，用信息技术算得 $f (1.5) \approx 0.33.$ 因为 $f (1) f (1.5) < 0$ ，所以 $x_{0} \in (1 ， 1.5)$ .

再取区间（1，1.5）的中点 $x_{2} = 1.25$ ，用信息技术算得 $f (1.25) \approx - 0.87$ .因为 $f (1.25) f (1.5) < 0$ 所以 $x_{0} \in (1.25, 1.5)$

同理可得， $x_{0} \in (1.375, 1.5), x_{0} \in (1.375, 1.4375) .$

由于

$∣1.375 - 1.4375∣ = 0.0625 < 0.1,$

所以，原方程的近似解可取为1.375.

由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图4.5-5就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.

图4.5-5

练习

1．借助信息技术，用二分法求函数 $f (x) = x^{3} + 1.1 x^{2} + 0.9 x - 1.4$ 在区间（0，1）内零点的近似值(精确度为0.1).

2．借助信息技术，用二分法求方程 $x = 3 - l g x$ 在区间（2，3）内的近似解（精确度为0.1).

阅读与思考

练习题

设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且已知零点在区间 $(a, b)$ 内。二分法中区间 $(a, b)$ 的中点 $c$ 应为下列哪一个？

c = a + b

c = \frac{a + b}{2}

c = \frac{b - a}{2}

c = ab

在用二分法求 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 的零点时，已得到零点所在区间为 $(2.53125, 2.5390625)$ 。若精确度为 $0.01$ ，下列说法正确的是哪一项？

A. 因为

∣2.5390625 - 2.53125∣ = 0.0078125 < 0.01

，所以该区间内任意一点都可作为满足精确度要求的近似值

B. 因为

∣2.5390625 - 2.53125∣ = 0.0078125 > 0.01

，所以还必须继续二分

C. 只有区间中点才能作为零点近似值，端点不能作为近似值

D. 只有精确零点才能作为方程

ln x + 2 x - 6 = 0

的解，近似值没有意义

用二分法求方程 $2^{x} + 3 x = 7$ 的近似解时，令 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ 。已知 $f (1) = - 2$ ， $f (2) = 3$ ，且 $f (1.5) \approx 0.33$ 。第一次二分后零点所在区间应为哪一个？

(1, 1.5)

(1.5, 2)

(0, 1)

(2, 3)

关于二分法求函数 $y = f (x)$ 零点近似值的一般步骤，下列说法正确的有哪几项？

A. 需要先确定初始区间

[a, b]

，并验证

f (a) f (b) < 0

B. 每一步通常取当前区间的中点

c = \frac{a + b}{2}

C. 若

f (a) f (c) < 0

，则零点在

(a, c)

内，可令

b = c

D. 若

∣ a - b ∣ < ε

，则可以取

a

或

b

作为零点近似值

E. 二分法每次都必须直接求出方程的精确解

若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) f (b) < 0$ ，则二分法可以从区间 $[a, b]$ 开始逐步缩小零点所在范围。

在二分法中，如果某一步得到 $f (c) = 0$ ，则仍必须继续二分，直到 $∣ a - b ∣ < ε$ 才能停止。

区间 $(a, b)$ 的中点为 ___。

简述为什么可以用二分法求方程 $ln x + 2 x - 6 = 0$ 的近似解，并说明当零点所在区间长度小于精确度 $ε$ 时应如何取近似值。

已知函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 在 $[2, 3]$ 上连续，且 $f (2) < 0$ ， $f (3) > 0$ 。用二分法第一次取中点 $c = 2.5$ ，若 $f (2.5) < 0$ ，则下一步应把零点所在区间确定为哪一个？

(2, 2.5)

(2.5, 3)

(2, 3)

(0, 2.5)

关于用二分法求方程 $2^{x} + 3 x = 7$ 的近似解，下列说法正确的是哪些？

A. 可令

f (x) = 2^{x} + 3 x - 7

，把方程求解转化为求函数

f (x)

的零点

B. 若由表格得到

f (1) < 0

，

f (2) > 0

，则可选

[1, 2]

作为二分法的初始区间

C. 区间

[1, 2]

的中点是

\frac{1 + 2}{2} = 1.5

D. 若某一步得到

∣ a - b ∣ < 0.1

，则区间

[a, b]

中任意一点都可作为满足精确度

0.1

的近似解

E. 只要

f (a) f (b) > 0

，二分法就一定能确定区间

(a, b)

内有零点

若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $f (a) f (b) < 0$ ，则二分法一定先求中点 $c = \frac{a + b}{2}$ ；若又有 $f (a) f (c) < 0$ ，就把新的零点所在区间取为 $(a, c)$ 。

把方程 $ln x + 2 x - 6 = 0$ 看作函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 的零点问题后，若经过二分法得到零点所在区间为 $[2.53125, 2.5390625]$ ，且精确度要求为 $0.01$ ，因为 $∣2.5390625 - 2.53125∣ = 0.0078125 < 0.01$ ，所以区间内任意一点都可以作为方程的 ___。

登录后解锁笔记、知识点解析、AI 问答

立即登录

4.5.2用二分法求方程的近似解