4.5 函数的应用

4.5 函数的应用

在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.

4.5.1 函数的零点与方程的解

思考

我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像 $\ln x+2x-6=0$ 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

与二次函数的零点一样，对于一般函数 $y=f(x)$ ，我们把使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的零点（zero).

这样，函数 $y=f(x)$ 的零点就是方程 $f(x)=0$ 的实数解，也就是函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标．所以

方程 $f(x)=0$ 有实数解 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 有零点 $\iff$ 函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有公共点.

由此可知，求方程 $f(x)=0$ 的实数解，就是确定函数 $y=f(x)$ 的零点．一般地，对于不能用公式求解的方程 $f(x)=0$ ，我们可以把它与相应的函数 $y=f(x)$ 联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.

下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手.

探究

对于二次函数 $f(x)=x^2-2x-3$ ，观察它的图象（图4.5-1)，发现它在区间 $[2,4]$ 上有零点，这时，函数图象与 $x$ 轴有什么关系？在区间 $[-2,0]$ 上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数 $f(x)$ 的取值规律来刻画这种关系？

再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 $x$ 轴的关系，并探究用 $f(x)$ 的取值刻画这种关系的方法.

图4.5-1

可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过” $x$ 轴．函数在端点 $x=2$ 和 $x=4$ 的取值异号，即 $f(2)f(4)<0$ ，函数 $f(x)=x^2-2x-3$ 在区间 $(2,4)$ 内有零点 $x=3$ ，它是方程 $x^2-2x-3=0$ 的一个根．同样地， $f(-2)f(0)<0$ ，函数 $f(x)=x^2-2x-3$ 在 $(-2,0)$ 内有零点 $x=-1$ ，它是方程 $x^2-2x-3=0$ 的另一个根.

一般地，我们有：

函数零点存在定理 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b)<0$ ，那么，函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c\in (a,b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的解.

例1 求方程 $\ln x+2x-6=0$ 的实数解的个数.

分析： 可以先借助计算工具画出函数 $y=\ln x+2x-6$ 的图象或列出 $x,y$ 的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.

解： 设函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ ，利用计算工具，列出函数 $y=f(x)$ 的对应值表（表4.5-1），并画出图象（图4.5-2).

表4.5-1

图4.5-2

由表4.5-1和图4.5-2可知， $f(2)<0,f(3)>0$ ，则 $f(2)f(3)<0$ ，由函数零点存在定理可知，函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内至少有一个零点.

容易证明，函数 $f(x)=\ln x+2x-6,x\in (0,+\infty )$ 是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程 $\ln x+2x-6=0$ 只有一个实数解.

为什么由图4.5-2和 $f(2)f(3)<0$ 还不能说明函数 $f(x)$ 只有一个零点？你能证明函数 $y=f(x)$ 是增函数吗？

练习

1. 图(1)(2)(3)分别为函数 $y=f(x)$ 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 $y=f(x)$ 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

(2)
(第1题)

(3）

2．利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：(1) $f(x)=-x^3-3x+5;$ (2） $f(x)=2x\ln (x-2)-3$ (3） $f(x)={\mathrm{e}}^{x-1}+4x-4;$ (4) $f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.$