思考

思考

我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 $y={\log }_{2}x$ 和 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

利用换底公式，可以得到 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x$ 。因为点 $(x,y)$ 与点 $(x,-y)$ 关于x轴对称，所以 $y={\log }_{2}x$ 图象上任意一点 $P(x,y)$ 关于x轴的对称点 $P_1(x,-y)$ 都在 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用 $y={\log }_{2}x$ 的图象画出 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 的图象（图4.4-3）。

为了得到对数函数 $y={\log }_{a}x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察。

图4.4-3

探究

选取底数 $a(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数 $y={\log }_{a}x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 的值域和性质吗？

如图4.4-4，选取底数 $a$ 的若干值，用计算工具画图，发现对数函数 $y={\log }_{a}x$ 的图象按底数a的取值，可分为 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种类型．因此，对数函数的性质也可以分 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情况进行研究。

一般地，对数函数的图象和性质如表4.4-2所示。

表4.4-2

项目	$0<a<1$	$a>1$
图象
定义域	$(0,+\infty )$
值域	$\mathbb{R}$
性质	(1) 过定点 (1, 0)，即 $x=1$ 时， $y=0$
	(2) 减函数	(2) 增函数

图4.4-4

例3 比较下列各题中两个值的大小：

(1) ${\log }_{2}3.4,{\log }_{2}8.5$

(2) ${\log }_{0.3}1.8,{\log }_{0.3}2.7$

(3) ${\log }_{a}5.1,{\log }_{a}5.9(a>0$ ，且 $a\ne 1)$

解：（1） ${\log }_{2}3.4$ 和 ${\log }_{2}8.5$ 可看作函数 $y={\log }_{2}x$ 的两个函数值．因为底数 $2>1$ ，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 是增函数，且 $3.4<8.5$ ，所以

$${\log }_{2}3.4<{\log }_2\mathrm{8.5.}$$

(2) ${\log }_{0.3}1.8$ 和 ${\log }_{0.3}2.7$ 可看作函数 $y={\log }_{0.3}x$ 的两个函数值．因为底数 $0.3<1$ ，对数函数 $y={\log }_{0.3}x$ 是减函数，且 $1.8<2.7$ ，所以

$${\log }_{0.3}1.8>{\log }_{0.3}\mathrm{2.7.}$$

(3) ${\log }_{a}5.1$ 和 ${\log }_{a}5.9$ 可看作函数 $y={\log }_{a}x$ 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数 $a$ 是大于1还是小于1，因此需要对底数 $a$ 进行讨论。

当 $a>1$ 时，因为函数 $y={\log }_{a}x$ 是增函数，且 $5.1<5.9$ ，所以

$${\log }_{a}5.1<{\log }_{a}5.9;$$

当 $0<a<1$ 时，因为函数 $y={\log }_{a}x$ 是减函数，且 $5.1<5.9$ ，所以

$${\log }_{a}5.1>{\log }_a\mathrm{5.9.}$$

例4 溶液酸碱度的测量。

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为 $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$ ，其中 $[{\mathrm{H}}^{+}]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-7}$ 摩尔/升，计算纯净水的pH。

解：（1）根据对数的运算性质，有

$$\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]=\lg [{\mathrm{H}}^{+}{]}^{-1}=\lg \frac{1}{[{\mathrm{H}}^{+}]}.$$

在 $(0,+\infty )$ 上，随着 $[{\mathrm{H}}^{+}]$ 的增大， $\frac{1}{[{\mathrm{H}}^{+}]}$ 减小，相应地， $\lg \frac{1}{[{\mathrm{H}}^{+}]}$ 也减小，即pH减小．所以，随着 $[{\mathrm{H}}^{+}]$ 的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强。

胃酸中氢离子的浓度是 $2.5\times 10^{-2}$ 摩尔/升，胃酸的pH是多少？

(2) 当 $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-7}$ 时， $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-7}=7$ ．所以，纯净水的pH是7。

前面根据指数与对数间的关系，由 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{5730}}(x⩾0)$ 得 $x={\log }_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}}y(0<y⩽1)$ 。由函数定义可知 $x={\log }_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}}y,y\in (0,1]$ 是一个函数．这样，由指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 可得到对数函数 $x={\log }_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}}y,y\in (0,1]$ ，这个对数函数的定义域 $(0,1]$、值域 $[0,+\infty )$ 分别是指数函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 的值域和定义域。这时就说函数 $x={\log }_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}}y,y\in (0,1]$ 是函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 的反函数（inverse function）。

通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，把 $x=5730{\log }_{\frac{1}{2}}y$ 写成 $y=5730{\log }_{\frac{1}{2}}x$ 这样，对数函数 $y=5730{\log }_{\frac{1}{2}}x,x\in (0,1]$ 是指数函数 $y=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 的反函数．同时，指数函数 $y=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 也是对数函数 $y=5730{\log }_{\frac{1}{2}}x,x\in (0,1]$ 的反函数．因此，指数函数 $y=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{x}{5730}},x\in [0,+\infty )$ 与对数函数 $y=5730{\log }_{\frac{1}{2}}x,x\in (0,1]$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

探究

对于指数函数 $y=2^x$ ，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？

一般地，指数函数 $y=a^x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 与对数函数 $y={\log }_{a}x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

练习

1.在同一直角坐标系中画出函数 $y={\log }_{3}x$ 和 $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ 的图象，并说明它们的关系.

2．比较下列各题中两个值的大小： (1） lg 0.6，lg 0.8； (2） ${\log }_{0.5}6,{\log }_{0.5}4$； (3） ${\log }_{m}5,{\log }_{m}7$.

3.某地去年的 $\mathrm{GDP}$ （国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.

（1）设经过x年达到的年 $\mathrm{GDP}$ 为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；

（2）经过几年该地 $\mathrm{GDP}$ 能达到3900亿元人民币？

探究与发现