正在学习

练习

把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1) $2^{3} = 8$ ；(2) $e^{3} = m$ ；(3) $2 7^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ ；(4) $lo g_{3} 9 = 2$ ；(5) $l g n = 2.3$ ；(6) $lo g_{3} \frac{1}{81} = - 4$ 。
求下列各式的值： (1) $lo g_{5} 25$ ；(2) $lo g_{0.4} 1$ ；(3) $ln \frac{1}{e}$ ；(4) $l g 0.001$ 。
求下列各式中 $x$ 的值： (1) $lo g_{\frac{1}{3}} x = - 3$ ；(2) $lo g_{x} 49 = 4$ ；(3) $l g 0.0001 = x$ ；(4) $ln e = - x$ 。

4.3.2 对数的运算

在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质。你认为可以怎样研究？

探究

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

$M = a^{m}, N = a^{n},$

$a^{m} a^{n} = a^{m + n},$

$M N = a^{m + n} .$

根据对数与指数间的关系可得

$lo g_{a} M = m, lo g_{a} N = n, lo g_{a} (M N) = m + n .$

这样，就得到了对数的一个运算性质：

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N .$

同样地，同学们可以仿照上述过程，由 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ 和 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ，自己推出对数运算的其他性质.

于是，我们得到如下的对数运算性质.

如果 $a > 0, a \neq = 1, M > 0, N > 0$ ，那么

(1) $lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ;

$(2) lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N;$

$(3) lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M (n \in R) .$

例3 求下列各式的值：

(1) $l g 5100$ (2) $lo g_{2} (4^{7} \times 2^{5})$

解： (1) $l g 5100 = l g 10 0^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} l g 100 = \frac{2}{5}$

(2) $lo g_{2} (4^{7} \times 2^{5}) = lo g_{2} 4^{7} + lo g_{2} 2^{5} = 7 lo g_{2} 4 + 5 lo g_{2} 2 = 7 \times 2 + 5 \times 1 = 19.$

例4 用 $ln x$ , $ln y$ , $ln z$ 表示 $ln \frac{x ^{2} y}{3 z}$ .

解： $ln \frac{x ^{2} y}{3 z} = ln (x^{2} y) - ln 3 z = ln x^{2} + ln y - ln 3 z = 2 ln x + \frac{1}{2} ln y - \frac{1}{3} ln z$ .

数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数.

探究

（1）利用计算工具求ln2，ln3的近似值；

（2）根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求 $lo g_{2} 3$ 的值吗？

（3）根据对数的定义，你能用 $lo g_{c} a, lo g_{c} b$ 表示 $lo g_{a} b (a > 0 且 a \neq = 1; b > 0; c > 0, 且 c \neq = 1)$ 吗？

设 $lo g_{a} b = x$ ，则 $a^{x} = b$ ，于是

$lo g_{c} a^{x} = lo g_{c} b .$

根据性质（3）得 $x lo g_{c} a = lo g_{c} b$ ，即

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} (a > 0, 且 a \neq = 1; b > 0; c > 0, 且 c \neq = 1) .$

我们把上式叫做对数换底公式.

在 4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 $x = lo g_{1.11} 2$ 的值．由换底公式，可得

$x = lo g_{1.11} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 1.11} .$

利用计算工具，可得

$x = \frac{l g 2}{l g 1.11} \approx 6.64 \approx 7.$

由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数.

例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为

$l g E = 4.8 + 1.5 M .$

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1)？

解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为 $E_{1}$ 和 $E_{2}$

由 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ ，可得

$l g E_{1} = 4.8 + 1.5 \times 9.0,$

$l g E_{2} = 4.8 + 1.5 \times 8.0.$

于是， $l g \frac{E _{1}}{E _{2}} = l g E_{1} - l g E_{2}$

$= (4.8 + 1.5 \times 9.0) - (4.8 + 1.5 \times 8.0) = 1.5.$

想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？

利用计算工具可得， $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{1.5} \approx 32.$

虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约 32倍.

练习

求下列各式的值： (1) $lo g_{3} (27 \times 9^{2})$ ; (2) $l g 5 + l g 2$ ; (3) $ln 3 + ln \frac{1}{3}$ ; (4) $lo g_{3} 5 - lo g_{3} 15$ .
用 $l g x$ , $l g y$ , $l g z$ 表示下列各式：(1) $l g (x y z)$ ; (2) $l g \frac{x y ^{2}}{z}$ ; (3) $l g \frac{x y ^{3}}{z}$ ; (4) $l g \frac{x}{y ^{2} z}$ .
化简下列各式： (1) $lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 2$ ; (2) $2 (lo g_{4} 3 + lo g_{8} 3) (lo g_{3} 2 + lo g_{9} 2)$ .

习题4.3

复习巩固

把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：(1) $3^{x} = 1$ ; (2) $4^{x} = \frac{1}{6}$ ; (3) $1 0^{x} = 6$ ; (4) $e^{x} = 25$ ; (5) $x = lo g_{5} 27$ ; (6) $x = lo g_{7} \frac{1}{3}$ ; (7) $x = l g 0.3$ ; (8) $x = ln 3$ .
选择题：（1）使式子 $lo g_{(2 x - 1)} (2 - x)$ 有意义的x的取值范围是（）。 (A) $x > 2$ (B) $x < 2$ (C) $\frac{1}{2} < x < 2$ (D) $\frac{1}{2} < x < 2$ , 且 $x \neq = 1$ （2）若 $l g a (a > 0)$ 与 $l g b (b > 0)$ 互为相反数，则（）。 (A) $a + b = 0$ (B) $a - b = 0$ (C) $ab = 1$ (D) $\frac{a}{b} = 1$
求下列各式的值：(1) $lo g_{a} 2 + lo g_{a} \frac{1}{2}$ ; (2) $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2$ ; (3) $l g \frac{1}{4} - l g 25$ ; (4) $2 lo g_{5} 25 - 3 lo g_{2} 64$ ; (5) $lo g_{2} (lo g_{2} 16)$ ; (6) $lo g_{2} 25 \times lo g_{3} 4 \times lo g_{5} 9$ .
求满足下列条件的x的值： (1) $ln x = ln a + ln b$ ; (2) $l g x = 3 l g n - l g m$ ; (3) $lo g_{a} x = \frac{1}{2} lo g_{a} b - lo g_{a} c$ ; (4) $lo g_{2} [lo g_{3} (lo g_{4} x)] = 0$ .

综合运用

已知 $l g 2 = a$ , $l g 3 = b$ ，求下列各式的值：(1) $l g 6$ ; (2) $lo g_{3} 4$ ; (3) $lo g_{2} 12$ ; (4) $l g \frac{3}{2}$ .
求满足下列条件的各式的值：（1）若 $x lo g_{3} 4 = 1$ ，求 $4^{x} + 4^{- x}$ 的值； (2) 若 $f (x) = 3^{x}$ ，求 $f (lo g_{3} 2)$ 的值.
证明： (1) $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c \cdot lo g_{c} a = 1$ ; (2) $lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b$ .
某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番?

练习题

计算 $lo g_{3} (27 \times 9^{2})$ 的值。

5

6

7

9

下列等式中，正确的是哪一个？

lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M \cdot lo g_{a} N

lo g_{a} M^{n} = (lo g_{a} M)^{n}

若某景区游客人数每年按 $11%$ 增长，要使游客人数达到原来的 $3$ 倍，所需年数 $x$ 满足 $1.1 1^{x} = 3$ 。用常用对数表示 $x$ ，正确的是（）。

x = \frac{l g 1.11}{l g 3}

x = l g 3 - l g 1.11

x = \frac{l g 3}{l g 1.11}

x = l g (3 \times 1.11)

设对数式中的字母均表示实数。下列说法或变形正确的有（）。

A. 若

a > 0

，

a \neq = 1

，

M > 0

，

N > 0

，则

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

B. 若

a > 0

，

a \neq = 1

，

M > 0

，

N > 0

，则

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

C. 若

a > 0

，

a \neq = 1

，

M > 0

，

n \in R

，则

lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M

D. 换底公式

lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}

中，只需

a \neq = 1

，不必要求

a > 0

E. 常用对数和自然对数可以作为换底公式中的新底，便于用计算工具求值

由 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ 和指数幂性质 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ ，可以推出 $lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$ 。

若地震能量 $E$ 与里氏震级 $M$ 满足 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ ，则震级相差 $2$ 级的两次地震释放能量之比的常用对数为 $3$ 。

用 $l g x$ ， $l g y$ ， $l g z$ 表示 $l g \frac{x ^{3} z ^{2}}{y}$ ，应填： $\lg\frac{x^3z^2}{\sqrt y}=___$ 。

已知地震能量与震级满足 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ 。说明为什么里氏 $7.0$ 级地震释放的能量约是里氏 $6.0$ 级地震的 $32$ 倍。

已知 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，若 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 12$ ，则 $lo g_{a} 36$ 等于多少？

m + n

2 m + n

m + 2 n

2 n - m

下列等式中，在各对数都有意义的前提下，正确的是哪些？

l g (x y) = l g x + l g y

，其中

x > 0

，

y > 0

ln \frac{x}{y} = ln x - ln y

，其中

x > 0

，

y > 0

lo g_{a} (M + N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

，其中

a > 0

，

a \neq = 1

，

M > 0

，

N > 0

lo g_{a} M^{r} = r lo g_{a} M

，其中

a > 0

，

a \neq = 1

，

M > 0

，

r \in R

l g (- 10) = - 1

若某本金按复利增长，经过 $x$ 期后的本利和满足 $y = a (1 + r)^{x}$ ，其中 $a > 0$ ， $r > 0$ 。要使本利和达到本金的 $3$ 倍，所需期数可表示为 $x = lo g_{1 + r} 3 = \frac{l g 3}{l g ( 1 + r )}$ 。

若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则用 $ln x$ 和 $ln y$ 表示 $ln \frac{x ^{2}}{y}$ ，结果为 ___。

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练习

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4.3.2 对数的运算

探究

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练习

习题4.3

复习巩固

综合运用

练习题

计算 log3​(27×92) 的值。

下列等式中，正确的是哪一个？

若某景区游客人数每年按 11% 增长，要使游客人数达到原来的 3 倍，所需年数 x 满足 1.11x=3。用常用对数表示 x，正确的是（ ）。

设对数式中的字母均表示实数。下列说法或变形正确的有（ ）。

由 M=am，N=an 和指数幂性质 am÷an=am−n，可以推出 loga​NM​=loga​M−loga​N。

若地震能量 E 与里氏震级 M 满足 lgE=4.8+1.5M，则震级相差 2 级的两次地震释放能量之比的常用对数为 3。

用 lgx，lgy，lgz 表示 lgy​x3z2​，应填：\lg\frac{x^3z^2}{\sqrt y}=___。

已知地震能量与震级满足 lgE=4.8+1.5M。说明为什么里氏 7.0 级地震释放的能量约是里氏 6.0 级地震的 32 倍。

已知 a>0 且 a=1，若 am=3，an=12，则 loga​36 等于多少？