综合运用

综合运用

5. 求下列函数可能的一个解析式： （1）函数 $f(x)$ 的数据如下表：

x	0	1	2
f(x)	3.50	4.20	5.04

（2）函数 $g(x)$ 的图象如下：

(第5题)

6. 比较下列各题中两个值的大小： (1) $3^{0.8},3^{0.7}$；(2) $0.75^{-0.1},0.75^{0.1}$；(3) $1.01^{2.7},1.01^{3.5}$；(4) $0.99^{3.3},0.99^{4.5}$。

7. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了。如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

8. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 $a$（单位：元），每期利率为 $r$，本利和为 $y$（单位：元），存期数为 $x$。 （1）写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和。

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息。我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄。

拓广探索

9. 已知函数 $y=a{\left(\frac{1}{2}\right)}^{|x|}+b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y=2$ 但又不与该直线相交。 （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性。

10. 已知 $f(x)=a^x$，$g(x)={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ ($a>0$，且 $a\ne 1$)。 （1）讨论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的单调性。 （2）如果 $f(x)<g(x)$，那么 $x$ 的取值范围是多少？

信息技术应用

探究指数函数的性质

函数图象是研究函数性质和进一步理解其概念的重要载体。利用信息技术强大的作图以及对图象和数据的分析功能，例如函数图象的动态演示，引起图象变化的关键因素分析，图象的局部放大和缩小等，有利于我们观察函数的整体变化情况，并考察其中的细节，从而获得大量关于函数特点的信息。这将极大地方便我们归纳、概括函数的性质以及发现不同函数之间的区别与联系。下面，我们就利用信息技术来探究指数函数的性质。

1. 用信息技术绘制函数 $y=a^x$ ($a>0$，且 $a\ne 1$) 的图象。由于底数 $a$ 可取大于0且不等于1的所有实数，所以不妨用一端固定于 $y$ 轴的水平线段 $PA$ 的长度来表示底数 $a$ 的值，即点 $A$ 的横坐标 $x_A$ 显示的就是 $a$ 的取值。

2. 如图1，从左向右拖动点 $A$ ($0<x_A<1$)，则 $x_A$ 的值逐渐增大。当 $x_A$ 的值越来越接近于1时，图象就越来越接近于直线 $y=1$；当 $x_A=1$ 时，图象就是直线 $y=1$；继续向右拖动点 $A$ ($x_A>1$)，如图2，图象发生了变化，随着 $x_A$ 的值逐渐增大，在第一象限内，图象越来越接近于 $y$ 轴，在第二象限内，图象越来越接近于 $x$ 轴。

图1

图2

3. 根据图1和图2，可以容易地发现指数函数的下列性质： （1）所有函数的图象都过点 $(0,1)$。 （2）所有函数的定义域都是 $(-\infty ,+\infty )$，值域都是 $(0,+\infty )$。 （3）在图1中，当 $0<a<1$ 时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；在图2中，当 $a>1$ 时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数。

接下来，请你思考和探究下列问题：

1. 继续观察图1和图2，当自变量 $x$ 取同一个数时，对应的函数值 $y$ 的大小关系是什么，你从中发现了什么规律？
2. 类似地，你可以利用信息技术绘制幂函数 $y=x^{\alpha }$ 的图象，通过改变 $\alpha$ 的大小，认识幂函数的变化规律。

4.3 对数

在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从 $y=1.11^x$ 中求出经过 $x$ 年后B地景区的游客人次为2001年的倍数 $y$。反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，……，那么该如何解决？

4.3.1 对数的概念

上述问题实际上就是从 $2=1.11^x$，$3=1.11^x$，$4=1.11^x$，……中分别求出 $x$，即已知底数和幂的值，求指数。这是本节要学习的对数。

一般地，如果 $a^x=N$ ($a>0$，且 $a\ne 1$)，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作

$$x={\log }_{a}N$$

“log”是 logarithm（对数）的缩写。

其中 $a$ 叫做对数的底数，$N$ 叫做真数。

例如，由于 $2=1.11^x$，所以 $x$ 就是以1.11为底2的对数，记作 $x={\log }_{1.11}2$；再如，由于 $4^2=16$，所以以4为底16的对数是2，记作 ${\log }_{4}16=2$。

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把 ${\log }_{10}N$ 记为 $\lg N$。另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 $\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把 ${\log }_{\mathrm{e}}N$ 记为 $\ln N$。

通过查询互联网，进一步了解无理数e、常用对数和自然对数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当 $a>0$，$a\ne 1$ 时，$a^x=N⟺x={\log }_{a}N$

由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

负数和0没有对数；

${\log }_{a}1=0$，${\log }_{a}a=1$。

请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论。

例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) $5^4=625$；(2) $2^{-6}=\frac{1}{64}$；(3) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^m=5.73$； (4) ${\log }_{\frac{1}{2}}16=-4$；(5) $\lg 0.01=-2$；(6) $\ln 10=n$。

解：(1) ${\log }_{5}625=4$； (2) ${\log }_2\frac{1}{64}=-6$； (3) ${\log }_{\frac{1}{3}}5.73=m$； (4) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=16$； (5) $10^{-2}=0.01$； (6) ${\mathrm{e}}^n=10$。

例2 求下列各式中 $x$ 的值： (1) ${\log }_{64}x=-\frac{2}{3}$；(2) ${\log }_{x}8=6$； (3) $\lg 100=x$；(4) $-\ln {\mathrm{e}}^2=x$。

解：（1）因为 ${\log }_{64}x=-\frac{2}{3}$，所以 $$x=64^{-\frac{2}{3}}=(4^3{)}^{-\frac{2}{3}}=4^{-2}=\frac{1}{16}.$$

（2）因为 ${\log }_{x}8=6$，所以 $x^6=8$。又 $x>0$，所以 $$x=8^{\frac{1}{6}}=(2^3{)}^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.$$

（3）因为 $\lg 100=x$，所以 $$10^x=100,10^x=10^2,$$ 于是 $$x=2.$$

（4）因为 $-\ln {\mathrm{e}}^2=x$，所以 $$\ln {\mathrm{e}}^2=-x,{\mathrm{e}}^2={\mathrm{e}}^{-x},$$ 于是 $$x=-2.$$