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选取底数 $a (a > 0$ 且 $a \neq = 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 的值域和性质吗？

如图4.2-6，选取底数α的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 $y = a^{x}$ 的图象按底数α的取值，可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型．因此，指数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究.

一般地，指数函数的图象和性质如表4.2-3所示.

表4.2-3

图4.2-6

项目	$0 < a < 1$	$a > 1$
图象
定义域	R	R
值域	$(0, + \infty)$	$(0, + \infty)$
性质	(1)过定点(0，1)，即 $x = 0$ 时， $y = 1$	(1)过定点(0，1)，即 $x = 0$ 时， $y = 1$
	(2)减函数	(2)增函数

例3比较下列各题中两个值的大小：

(1) $1. 7^{2.5}, 1. 7^{3}$

(2) $0. 8^{- 2}, 0. 8^{- 3}$

(3） $1. 7^{0.3}, 0. 9^{3.1}$

分析：对于（1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3)， $1. 7^{0.3}$ 和 $0. 9^{3.1}$ 不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数 $y = 1. 7^{x}$ 和 $y = 0. 9^{x}$ 的单调性，以及“ $x = 0$ 时， $y = 1$ ”这条性质把它们联系起来.

解：(1) $1. 7^{2.5}$ 和 $1. 7^{3}$ 可看作函数 $y = 1. 7^{x}$ 当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数 $1.7 > 1$ ，所以指数函数 $y = 1. 7^{x}$ 是增函数.

因为 $2.5 < 3$ ，所以 $1. 7^{2.5} < 1. 7^{3}$

（2）同（1）理，因为 $0 < 0.8 < 1$ ，所以指数函数 $y = 0. 8^{x}$ 是减函数.

因为 $- 2 > - 3$ ，所以 $0. 8^{- 2} < 0. 8^{- 3}$

（3）由指数函数的性质知

$1. 7^{0.3} > 1. 7^{0} = 1,$

$0. 9^{3.1} < 0. 9^{0} = 1,$

所以 $1. 7^{0.3} > 0. 9^{3.1}$

例4如图4.2-7，某城市人口呈指数增长.

由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.

（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期)；

（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？

分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.

（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.

解：（1）观察图4.2-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20 年.

（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.

图4.2-7

练习

1．在同一直角坐标系中画出函数 $y = 3^{x}$ 和 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 的图象，并说明它们的关系.

2．比较下列各题中两个值的大小：(1) $6^{2}, 7^{2}$ ； (2) $0. 3^{- 3.5}, 0. 3^{- 2.3}$ ; (3） $1. 2^{0.5}, 0. 5^{1.2}$

3.体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.

习题4.2

复习巩固

1.求下列函数的定义域：(1) $y = 2^{3 - x}$ ； (2) $y = 3^{2 x + 1}$ ； (3） $y = (\frac{1}{2})^{5 x}$ (4) $y = 0. 7^{\frac{1}{x}}$

2.一种产品原来的年产量是α件，今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量 y(单位：件)关于经过的年数x 的函数解析式.

3．比较满足下列条件的m，n的大小： (1) $2^{m} < 2^{n}$ (2) $0. 2^{m} < 0. 2^{n}$ ； (3) $a^{m} < a^{n} (0 < a < 1)$ ； (4) $a^{m} > a^{n} (a > 1)$

设函数 $f (x) = Q_{0} (1 + r)^{x}$ ，且 $f (10) = 20.23$ ， $f (11) = 23.26$ 。（1）求函数 $f (x)$ 的增长率 $r$ ；（2）求 $f (12)$ 的值。

练习题

关于指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的图象分类，下列说法正确的是哪一项？

A. 只需按

a > 0

和

a < 0

分为两类

B. 按

0 < a < 1

和

a > 1

分为两类

C. 按

a = 1

和

a \neq = 1

分为两类

D. 所有指数函数图象的单调性完全相同

函数 $y = 2^{x}$ 的定义域和值域分别是下列哪一项？

A. 定义域为

(0, + \infty)

，值域为

R

B. 定义域为

R

，值域为

(0, + \infty)

C. 定义域为

[0, + \infty)

，值域为

[1, + \infty)

D. 定义域为

R

，值域为

R

比较 $0. 6^{- 2}$ 与 $0. 6^{- 3}$ 的大小，正确的是哪一项？

0. 6^{- 2} < 0. 6^{- 3}

0. 6^{- 2} > 0. 6^{- 3}

0. 6^{- 2} = 0. 6^{- 3}

D. 无法比较

下列关于指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的说法中，正确的有哪几项？

A. 它的定义域是

R

B. 它的值域是

(0, + \infty)

C. 它一定经过点

(0, 1)

D. 当

a > 1

时，它是减函数

E. 当

0 < a < 1

时，它是减函数

下列比较大小的结论中，正确的有哪几项？

3^{1.2} < 3^{1.5}

0. 4^{2} > 0. 4^{3}

1. 5^{0.2} > 0. 8^{2}

0. 7^{- 1} < 0. 7^{- 2}

2^{- 3} > 2^{- 1}

指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的图象都经过点 $(0, 1)$ 。

若某城市人口呈指数增长，倍增期为 $15$ 年，则从 $50$ 万人开始，经过 $30$ 年后人口约为 $100$ 万人。

当 $a > 1$ 时，指数函数 $y = a^{x}$ 是 ___ 函数。

指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的值域是 ___。

设某种产品当前年产量为 $Q_{0}$ ，计划平均每年增长 $p %$ 。请写出经过 $x$ 年后的年产量模型，并说明它属于哪类模型。

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练习

习题4.2

复习巩固

练习题

关于指数函数 y=ax(a>0,a=1) 的图象分类，下列说法正确的是哪一项？

函数 y=2x 的定义域和值域分别是下列哪一项？

比较 0.6−2 与 0.6−3 的大小，正确的是哪一项？

下列关于指数函数 y=ax(a>0,a=1) 的说法中，正确的有哪几项？

下列比较大小的结论中，正确的有哪几项？

指数函数 y=ax(a>0,a=1) 的图象都经过点 (0,1)。

若某城市人口呈指数增长，倍增期为 15 年，则从 50 万人开始，经过 30 年后人口约为 100 万人。

当 a>1 时，指数函数 y=ax 是 ___ 函数。

指数函数 y=ax(a>0,a=1) 的值域是 ___。

设某种产品当前年产量为 Q0​，计划平均每年增长 p%。请写出经过 x 年后的年产量模型，并说明它属于哪类模型。

关于指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的图象分类，下列说法正确的是哪一项？

函数 $y = 2^{x}$ 的定义域和值域分别是下列哪一项？

比较 $0. 6^{- 2}$ 与 $0. 6^{- 3}$ 的大小，正确的是哪一项？

下列关于指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的说法中，正确的有哪几项？

指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的图象都经过点 $(0, 1)$ 。

若某城市人口呈指数增长，倍增期为 $15$ 年，则从 $50$ 万人开始，经过 $30$ 年后人口约为 $100$ 万人。

当 $a > 1$ 时，指数函数 $y = a^{x}$ 是 ___ 函数。

指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的值域是 ___。

设某种产品当前年产量为 $Q_{0}$ ，计划平均每年增长 $p %$ 。请写出经过 $x$ 年后的年产量模型，并说明它属于哪类模型。