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4.2.1 指数函数的概念

问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。

表4.2-1

时间/年	A地景区		B地景区
时间/年	人次/万次	年增加量/万次	人次/万次	年增加量/万次
2001	600		278
2002	609	9	309	31
2003	620	11	344	35
2004	631	11	383	39
2005	641	10	427	44
2006	650	9	475	48
2007	661	11	528	53
2008	671	10	588	60
2009	681	10	655	67
2010	691	10	729	74
2011	702	11	811	82
2012	711	9	903	92
2013	721	10	1005	102
2014	732	11	1118	113
2015	743	11	1244	126

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图4.2-1和图4.2-2).

图4.2-1

为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来.

图4.2-2

观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.

练习题

根据表4.2-1，A地景区游客人次从 $2001$ 年的 $600$ 万次增加到 $2015$ 年的 $743$ 万次。结合逐年增加量，最恰当的判断是（）

A. A地游客人次近似于直线上升，年增加量大致相等

B. A地游客人次呈明显下降趋势

C. A地游客人次年增加量越来越大，呈非线性增长

D. A地游客人次没有任何变化规律

根据表4.2-1，B地景区游客人次的年增加量从 $31$ 万次逐步增大到 $126$ 万次。这说明B地游客人次的变化更符合（）

A. 年增加量大致相等的线性增长

B. 非线性增长，且年增加量越来越大

C. 游客人次逐年减少

D. 每年游客人次都完全相同

为了根据表格中的离散数据观察游客人次变化规律，下列作图方法最符合教材说明的是（）

A. 只写出最大值和最小值，不作图

B. 先根据表格数据描点，再用光滑曲线将离散的点连起来

C. 随意画一条直线，不必经过或靠近数据点

D. 只画坐标轴，不标出任何数据点

关于A、B两地景区游客人次变化情况，下列说法正确的有（）

A. A地游客人次近似于线性增长

B. A地游客人次的年增加量大致相等，约为

10

万次

C. B地游客人次的年增加量越来越大

D. B地游客人次的变化规律仅凭图象和年增加量很容易准确判断

E. B地游客人次呈非线性增长

判断正误：对于表4.2-1中的离散数据，可以通过描点并用光滑曲线连接来帮助观察变化规律。

判断正误：B地景区的游客人次虽然逐年增加，但从图象和年增加量都难以直接看出其精确变化规律。

A地景区游客人次近似于直线上升，这种增长通常称为___。

简要说明为什么B地景区游客人次不能简单判断为线性增长，并联系指数幂学习中“指数 $x$ 可取实数”的事实，说明这类非线性变化为什么值得进一步研究。

根据表格和图象，A地游客人次的年增加量大致相等，B地游客人次的年增加量越来越大。若进一步想用含有幂 $a^{x}$ 的表达式描述随时间 $x$ 变化的数量，下列说法最恰当的是哪一项？

A. A地更接近直线上升的线性增长；由于

a^{x}

中指数

x

已可取实数，含幂的表达式在

a > 0

时可以用于描述连续时间变量。

B. B地年增加量越来越大，所以它一定是直线上升的线性增长；而

a^{x}

只在

x

为整数时有意义。

C. A地和B地都必须用同一个一次式表示；实数指数幂没有确定的值。

D. 只要画出光滑曲线，就能仅凭图象确定B地的精确变化规律；不需要考虑

a^{x}

的定义范围。

关于A、B两地游客人次数据的观察以及相关指数幂知识，下列说法正确的有哪几项？

A. 可以先根据表格中的离散数据描点，再用光滑曲线连接，以便观察变化趋势。

B. A地游客人次近似于直线上升，说明其年增加量大致相等。

C. B地游客人次年增加量越来越大，因此呈非线性增长。

D. 当

a > 0

时，

a^{x}

中指数

x

的取值范围已拓展到实数，这为研究随连续变量变化的幂表达式提供了基础。

E. 只要B地年增加量越来越大，就能仅凭表格和图象确定它的精确变化规律。

因为B地游客人次年增加量越来越大，而 $a^{x}$ 在 $a > 0$ 时对任意实数 $x$ 都有意义，所以仅凭表格和图象就可以断定B地游客人次一定满足某个精确的幂表达式。

在把游客人次随时间变化的数据描点并用光滑曲线观察趋势时，若进一步考虑含 $a^{x}$ 的表达式作为可能的描述形式，先前知识要求底数满足 ___，这样 $a^{x}$ 对实数 $x$ 才有确定意义。

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