探究

探究

根据 $\sqrt{2}$ 的不足近似值𝑥和过剩近似值y（表4.1-1)，利用计算工具计算相应的 $5^x$ 、 $5^y$ 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？

表4.1-1

√2的不足近似值x	$5^x$的近似值	$\sqrt{2}$的过剩近似值y	$5^y$的近似值
1.4		1.5
1.41		1.42
1.414		1.415
1.4142		1.4143
1.41421		1.41422
1.414213		1.414214
1.4142135		1.4142136
1.41421356		1.41421357
1.414213562		1.414213563
：	：	：	：

可以发现，当√2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近√2时， $5^x$ 和 $5^y$ 都趋向于同一个数，这个数就是 $5^{\sqrt{2}}$ ．也就是说， $5^{\sqrt{2}}$ 是一串逐渐增大的有理数指数幂 $5^{1.4},5^{1.41}$ ， $5^{1.414}$ ， $5^{1.4142}$ ，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂 $5^{1.5},5^{1.42},5^{1.415},5^{1.4143}$ ，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．这个过程可以用图4.1-1表示.

图4.1-1

思考

参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如 $2^{\sqrt{3}}$ ，说明它也是一个确定的实数吗？

一般地，无理数指数幂 $a^{\alpha }\left(a>0\right)$ ，(α 为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂 $a^x\left(a>0\right)$ 中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数.

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.

$$\left(1\right)a^r{a}^s=a^{r+s}\left(a>0,r,s\in \mathbf{R}\right);$$

$$(2)(a^r{)}^s=a^{rs}(a>0,r,s\in \mathbf{R});$$

$$(3)(ab{)}^r=a^r{b}^r(a>0,b>0,r\in \mathbf{R}).$$

1．计算下列各式：

(1) ${\left(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}}\right)}^{2\sqrt{3}}$ ； (2) $a^{\frac{\pi }{3}}{a}^{\frac{2\pi }{3}}{a}^{-\pi }.$

2．利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：

（1）x取负实数，使得｜𝑥丨的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 $2^x\left(x\in \mathbf{R}\right)$ 的值，观察变化趋势；

（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x(x\in \mathbf{R})$ 的值，观察变化趋势.

习题4.1

复习巩固

1．求下列各式的值： (1) $\sqrt[4]{100^4}$ ； (2) $\sqrt[5]{{\left(-0.1\right)}^5}$ ； (3) $\sqrt{{\left(\pi -4\right)}^2}$ ； (4) $\sqrt[6]{{\left(x-y\right)}^6}$

2．选择题

（1）设 $a>0$ ，则下列运算中正确的是（ ）。 (A) $a^{\frac{4}{3}}{a}^{\frac{3}{4}}=a$ (B) $a÷a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{3}{2}}$ (C) $a^{\frac{2}{3}}{a}^{-\frac{2}{3}}=0$ (D) $(a^{\frac{1}{4}}{)}^4=a$

（2）设 $a>0,m,n$ 是正整数，且 $n>1$ ，则下列各式

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},a^0=1,a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}},$$

正确的个数是（ ）。 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

3．填空题

(1) 在 $(-\frac{1}{2}{)}^{-1}$ ， $2^{-1}$ ， $(\frac{1}{2}{)}^{-1}$ ， $2^{-1}$ 中，最大的数是

（2）按从小到大的顺序，可将 $2^{\sqrt{3}},3^{\sqrt{2}},{\pi }^{\sqrt{5}},2^{\pi }$ 重新排列为 (可用计算工具)。

4．用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均为正数）： (1) $\sqrt{\frac{b^3}{a}\sqrt{\frac{a^2}{b^6}}};$ (2) $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a}}}$ (3) $\frac{\sqrt{m}\sqrt[3]{m}\sqrt[4]{m}}{{\left(\sqrt[6]{m}\right)}^5{m}^{\frac{1}{4}}}.$

5．计算下列各式(式中字母均为正数)： (1) $a^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{3}{4}}{a}^{\frac{7}{12}}$ ； (2) $a^{\frac{2}{3}}{a}^{\frac{3}{4}}÷a^{\frac{5}{6}}$ (3) ${\left(x^{\frac{1}{3}}{y}^{-\frac{3}{4}}\right)}^{12}$ (4) $4a^{\frac{2}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}÷\left(-\frac{2}{3}{a}^{-\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}\right)$

综合运用

6．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个)，那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个。

7．（1）已知 $10^m=2,10^n=3$ ，求 $10^{\frac{3m-2n}{2}}$ 的值；

（2）已知 $a^{2x}=3$ ，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$ 的值。

8．已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$ ，求下列各式的值： (1) $a+a^{-1}$ (2) $a^2+a^{-2}$

拓广探索

9．从盛有1L纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ L，然后用水填满；再倒出 $\frac{1}{3}$ L，又用水填满……

（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？

（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？

10．（1）当 $n=1$ ，2，3，10，100，1000，10000，100000，…时，用计算工具计算 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ $(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 的值；

（2）当n越来越大时， ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 是否也会越来越大？有没有最大值？

4.2 指数函数

对于幂 $a^x\left(a>0\right)$ ，我们已经把指数x的范围拓展到了实数。上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法。下面继续研究其他类型的基本初等函数。