4.1.1 n次方根与分数指数幂

4.1.1 n次方根与分数指数幂

我们知道：

如果 $x^2=a$ ，那么x 叫做a 的平方根．例如，±2就是4的平方根.

如果 $x^3=a$ ，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根.

类似地，由于 $(\pm 2{)}^4=16$ ，我们把±2叫做16的4次方根；由于 $2^5=32$ ，2叫做32的5次方根.

一般地，如果 $x^n=a$ ，那么x叫做a的n次方根，其中 $n>1$ ，且 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示．例如，

$$\sqrt[5]{32}=2,\sqrt[5]{-32}=-2,\sqrt[3]{a^6}=a^2.$$

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示，负的n次方根用符号 $-\sqrt[n]{a}$ 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 $\pm \sqrt[n]{a}\left(a>0\right)$ ．例如，

$$\sqrt[4]{16}=2,-\sqrt[4]{16}=-2,\pm \sqrt[4]{16}=\pm 2.$$

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作 $\sqrt[n]{0}=0$

式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式（radical)，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数.

为什么负数没有偶次方根？

根据n次方根的意义，可得

$$(\sqrt[n]{a}{)}^n=a.$$

例如， $(\sqrt{5}{)}^2=5,(\sqrt[5]{-3}{)}^5=-3.$

探究

$\sqrt[n]{a^n}$ 表示 $a^n$ 的n次方根， $\sqrt[n]{a^n}=a$ 一定成立吗？如果不一定成立，那么 $\sqrt[n]{a^n}$ 等于什么？

可以得到：

当n为奇数时， $\sqrt[n]{a^n}=a$

当n为偶数时， $\sqrt[n]{a^n}=|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$

例1求下列各式的值：

(1) $\sqrt[3]{(-8{)}^3}$ (2） $\sqrt{(-10{)}^2}$

(3） $\sqrt[4]{(3-\pi {)}^4}$ (4) $\sqrt{(a-b{)}^2}$

解：(1) $\sqrt[3]{(-8{)}^3}=-8$

(2） $\sqrt{(-10{)}^2}=|-10|=10$

(3） $\sqrt[4]{(3-\pi {)}^4}=|3-\pi |=\pi -3$

(4） $\sqrt{(a-b{)}^2}=|a-b|=\{\begin{array}{ll}a-b,& a\ge b\\ b-a,& a<b\end{array}$

根据n次方根的定义和数的运算，我们知道

$$\sqrt[5]{a^{10}}=\sqrt[5]{(a^2{)}^5}=a^2=a^{\frac{10}{5}}(a>0),$$

$$\sqrt[4]{a^{12}}=\sqrt[4]{(a^3{)}^4}=a^3=a^{\frac{12}{4}}(a>0).$$

这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

思考

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？

把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 $\sqrt[3]{a^2},\sqrt{b},\sqrt[4]{c^5}$ 等写成下列形式：

$$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}(a>0),$$

$$\sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}}(b>0),$$

$$\sqrt[4]{c^5}=c^{\frac{5}{4}}(c>0),$$

我们希望整数指数幂的运算性质，如 $(a^k{)}^n=a^{kn}$ ，对分数指数幂仍然适用.

由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in {\mathbf{N}}^{\ast },n>1).$$

于是，在条件 $a>0,m,n\in {\mathbf{N}}^{\ast },n>1$ 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，

$$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}(a>0,m,n\in {\mathbf{N}}^{\ast },n>1).$$

数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容.

这里，略去了规定合理性的说明.

例如， $5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}},a^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$

与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

规定了分数指数幂的意义以后，幂 $a^x$ 的指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质.

(1) $a^r{a}^s=a^{r+s}(a>0,r,s\in \mathbf{Q})$

(2） $(a^r{)}^s=a^{rs}(a>0,r,s\in \mathbf{Q})$

(3） $(ab{)}^r=a^r{b}^r(a>0,b>0,r\in \mathbf{Q}).$

例2求值:

(1) $8^{\frac{2}{3}}$ (2） $(\frac{16}{81}{)}^{-\frac{3}{4}}$

解：(1) $8^{\frac{2}{3}}={\left(2^3\right)}^{\frac{2}{3}}=2^{3\times \frac{2}{3}}=2^2=4$

(2) $(\frac{16}{81}{)}^{-\frac{3}{4}}=(\frac{81}{16}{)}^{\frac{3}{4}}=(\frac{3^4}{2^4}{)}^{\frac{3}{4}}=(\frac{3}{2}{)}^{4\times \frac{3}{4}}=(\frac{3}{2}{)}^3=\frac{27}{8}.$

例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中 $a>0)$ (1) $a^2\cdot \sqrt[3]{a^2}$ ， (2) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$

解： (1) $a^2\bullet \sqrt[3]{a^2}=a^2{a}^{\frac{2}{3}}=a^{2+\frac{2}{3}}=a^{\frac{8}{3}}$

(2) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=(a{a}^{\frac{1}{3}}{)}^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{4}{3}}{)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{2}{3}}$

例4 计算下列各式 (式中字母均是正数)：

(1) $\left(2a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}\right)(-6a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}})÷(-3a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}})$ (2) ${\left(m^{\frac{1}{4}}{n}^{-\frac{3}{8}}\right)}^8$

(3) $(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a^3})÷\sqrt[4]{a^2}$

解：(1) $(2a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}})÷(-3a^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}})=[2\times (-6)÷(-3)]a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}=4a{b}^0=4a$

(2) ${\left(m^{\frac{1}{4}}{n}^{-\frac{3}{8}}\right)}^8=(m^{\frac{1}{4}}{)}^8(n^{-\frac{3}{8}}{)}^8=m^2{n}^{-3}$

(3) $\begin{array}{c}(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a^3})÷\sqrt[4]{a^2}=(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{3}{2}})÷a^{\frac{1}{2}}\\ =a^{\frac{2}{3}}÷a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}÷a^{\frac{1}{2}}\\ =a^{\frac{1}{6}}-a\\ =\sqrt[6]{a}-a.\end{array}$

练习

1．用根式的形式表示下列各式 $(a>0)$ (1) $a^{\frac{1}{2}}$ ； (2) $a^{\frac{3}{4}}$ ； (3) $a^{-\frac{3}{5}}$ (4) $a^{-\frac{2}{3}}$

2．用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：(1) $\sqrt[3]{x^2}(x>0)$ ； (2) $\sqrt[5]{(m-n{)}^4}(m>n)$ (3) $\sqrt{p^6}\sqrt{p^5}(p>0)$ (4) $\frac{a^3}{\sqrt{a}}(a>0)$

3．计算下列各式： (1) ${\left(\frac{36}{49}\right)}^{\frac{3}{2}}$ (2) $2\sqrt{3}\times 3\sqrt[3]{1.5}\times \sqrt[6]{12}$ (3) $a^{\frac{1}{2}}{a}^{\frac{1}{4}}{a}^{-\frac{1}{8}}(a>0)$ (4) $2x^{-\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}-2x^{-\frac{2}{3}})$

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

上面我们将 $a^x\left(a>0\right)$ 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数x是无理数时， $a^x$ 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？

在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.