正在学习

复习巩固

1．求下列函数的定义域：

(1) $y = x - 2 x + 5$ ;

(2) $y = \frac{x - 4}{∣ x ∣ - 5}$ .

2.已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，求：

(1) $f (a - 1)$ ;

(2) $f (a + 1) (a \neq = - 2)$ .

3.设 $f (x) = \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}}$ ，求证：

(1) $f (- x) = f (x)$ ;

(2) $f (\frac{1}{x}) = - f (x) (x \neq = 0)$ .

4．已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在[5, 20]上具有单调性，求实数k的取值范围.

5.已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{2}{2})$ ，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.

6.某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000元，每生产一台仪器需增加投入100 元，已知总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：台)满足函数：

$R = {400 x - \frac{1}{2} x^{2}, 0 ⩽ x ⩽ 400, 80000, x ⩾ 400.$

(1）将利润P(单位：元)表示为月产量x的函数;

(2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本十利润)

综合运用

7．已知函数 $f (x) = {x (x + 4), x \geq 0, x (x - 4), x < 0,$ 求 f(1)，f(-3)，f(a+1）的值.

8.证明：

(1）若 $f (x) = a x + b$ ，则 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ ;

(2）若 $g (x) = x^{2} + a x + b$ ，则 $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) ⩽ \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$ .

9．（1）已知奇函数f(x)在[a, b]上单调递减，那么它在[-b, -a]上单调递增还是单调递减？

（2）已知偶函数g(x)在[a, b]上单调递减，那么它在[-b, -a]上单调递增还是单调递减？

10.某地区上年度电价为0.8元/（kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k)．该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h).

（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元）关于实际电价x(单位：元/(kW·h))的函数解析式；（收益=实际电量×（实际电价-成本价））

（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?

拓广探索

11．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量)．下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？

(1)

(2)
(第11题)

12．试讨论函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象.

13.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线 $x = t (t > 0)$ 左侧的图形的面积为f(t)．试求函数 $y = f (t)$ 的解析式，并画出函数 $y = f (t)$ 的图象.

14．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系.

x	30	40	45	50
y	60	30	15	0

(第13题)

（1）根据表中提供的数据描出实数对 $(x, y)$ 的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；

（2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元)，根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润.

第四章指数函数与对数函数

良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．考古学家利用遗址中遗存物碳 14的残留量测定，古城存在时期为公元前 3300 年～前 2300年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数．指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用．例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.

通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法．在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较．在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.

4.1 指数

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.

初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 $c = S$ 记作 $c = S^{\frac{1}{2}}$ .像 $S^{\frac{1}{2}}$ 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.

练习题

函数 $y = x - 2 x + 5$ 的定义域是下列哪一个？

[- 5, + \infty)

[2, + \infty)

[- 5, 2]

(- \infty, - 5] \cup [2, + \infty)

已知 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则 $f (a + 1)$ 等于多少？

\frac{- a}{a + 2}

，其中

a \neq = - 2

\frac{a}{a + 2}

，其中

a \neq = - 2

\frac{- a}{a}

，其中

a \neq = 0

\frac{2 - a}{a}

，其中

a \neq = 0

二次函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 的对称轴为 $x = \frac{k}{8}$ 。若 $f (x)$ 在区间 $[5, 20]$ 上具有单调性，则 $k$ 的取值范围是下列哪一个？

40 < k < 160

k \leq 40

或

k \geq 160

k \geq 40

k \leq 160

关于函数 $f (x) = \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}}$ ，下列说法正确的有哪几项？

f (- x) = f (x)

f (\frac{1}{x}) = - f (x)

对所有

x \neq = 0, \pm 1

成立

C. 函数

f (x)

是奇函数

D. 函数

f (x)

的定义域是

R

E. 判断

f (- x) = f (x)

时，需要注意函数定义域关于原点对称

已知幂函数 $y = f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(2, \frac{2}{2})$ 。下列说法正确的有哪几项？

α = - \frac{1}{2}

f (x) = x^{- \frac{1}{2}}

C. 该函数可写为

f (x) = \frac{1}{x}

D. 该函数在

(0, + \infty)

上单调递增

E. 该函数既不是奇函数，也不是偶函数

设 $f (x) = {x (x + 4), x (x - 4), x \geq 0, x < 0.$ 则 $f (- 3) = 21$ 。

若奇函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，则它在对称区间 $[- b, - a]$ 上单调递增。

考古学家利用碳 $14$ 残留量测定遗址年代，与指数函数描述放射性物质衰减的模型有关。

为了研究指数函数，需要把指数的范围拓展到 ___。

把正方形面积 $S$ 与边长 $c$ 的关系 $c = S$ 写成幂的形式是 $c =$ ___。

某商品进价为 $30$ 元，若根据表格数据猜想日销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 的关系为 $y = 150 - 3 x$ ，请写出日销售利润 $P$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求最大日销售利润。

若要写一篇题为“指数函数在现实中的应用”的小型文献综述，并用函数观点组织材料，请简要说明应怎样确定材料范围，并举出至少两个可用指数函数建模的实例。

某遗存物中碳 $14$ 的残留量 $y$ 随时间 $t$ 变化，可用函数模型描述。根据本章引入指数函数的背景，以及函数是描述变量依赖关系的重要模型，下列说法最恰当的是哪一项？

A. 因为碳

14

残留量用于测定年代，所以可以用指数函数模型刻画其随时间变化的规律

B. 只要两个量都在变化，就一定只能用一次函数模型刻画

C. 碳

14

测年只需要列表，不需要函数模型

D. 指数函数只能用于几何图形面积问题，不能用于实际问题

在研究函数 $y = \frac{x - 4}{∣ x ∣ - 5}$ 时，需要先确定定义域。结合函数定义域的求法和函数的三个构成要素，下列说法正确的有哪几项？

A. 必须满足

x - 4 ⩾ 0

，因为根号内的式子不能为负

B. 必须满足

∣ x ∣ - 5 \neq = 0

，因为分母不能为

0

C. 该函数的定义域是

[4, 5) \cup (5, + \infty)

D. 只要写出对应关系

y = \frac{x - 4}{∣ x ∣ - 5}

，就已经完整确定了函数，不需要定义域

E. 定义域是函数的构成要素之一

判断正误：在研究幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象、奇偶性和单调性时，可以类比后续研究指数函数和对数函数的方法，即从解析式、图象和性质等方面进行比较研究。

在把正方形边长 $c$ 关于面积 $S$ 的关系写成 $c = S^{\frac{1}{2}}$ 时， $S^{\frac{1}{2}}$ 的意义来源于 ___。

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第四章 指数函数与对数函数

4.1 指数

练习题

函数 y=x−2​x+5​ 的定义域是下列哪一个？

已知 f(x)=1+x1−x​，则 f(a+1) 等于多少？

二次函数 f(x)=4x2−kx−8 的对称轴为 x=8k​。若 f(x) 在区间 [5,20] 上具有单调性，则 k 的取值范围是下列哪一个？

关于函数 f(x)=1−x21+x2​，下列说法正确的有哪几项？

已知幂函数 y=f(x)=xα 的图象过点 (2,22​​)。下列说法正确的有哪几项？

设 f(x)={x(x+4),x(x−4),​x≥0,x<0.​ 则 f(−3)=21。

若奇函数 f(x) 在 [a,b] 上单调递减，则它在对称区间 [−b,−a] 上单调递增。

考古学家利用碳 14 残留量测定遗址年代，与指数函数描述放射性物质衰减的模型有关。

为了研究指数函数，需要把指数的范围拓展到 ___。

把正方形面积 S 与边长 c 的关系 c=S​ 写成幂的形式是 c= ___。

某商品进价为 30 元，若根据表格数据猜想日销售量 y 与销售单价 x 的关系为 y=150−3x，请写出日销售利润 P 关于 x 的函数解析式，并求最大日销售利润。

若要写一篇题为“指数函数在现实中的应用”的小型文献综述，并用函数观点组织材料，请简要说明应怎样确定材料范围，并举出至少两个可用指数函数建模的实例。

某遗存物中碳 14 的残留量 y 随时间 t 变化，可用函数模型描述。根据本章引入指数函数的背景，以及函数是描述变量依赖关系的重要模型，下列说法最恰当的是哪一项？

在研究函数 y=∣x∣−5x−4​​ 时，需要先确定定义域。结合函数定义域的求法和函数的三个构成要素，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在研究幂函数 f(x)=xα 的图象、奇偶性和单调性时，可以类比后续研究指数函数和对数函数的方法，即从解析式、图象和性质等方面进行比较研究。

在把正方形边长 c 关于面积 S 的关系写成 c=S21​ 时，S21​ 的意义来源于 ___。

第四章指数函数与对数函数

函数 $y = x - 2 x + 5$ 的定义域是下列哪一个？

已知 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则 $f (a + 1)$ 等于多少？

二次函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 的对称轴为 $x = \frac{k}{8}$ 。若 $f (x)$ 在区间 $[5, 20]$ 上具有单调性，则 $k$ 的取值范围是下列哪一个？

关于函数 $f (x) = \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}}$ ，下列说法正确的有哪几项？

已知幂函数 $y = f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(2, \frac{2}{2})$ 。下列说法正确的有哪几项？

设 $f (x) = {x (x + 4), x (x - 4), x \geq 0, x < 0.$ 则 $f (- 3) = 21$ 。

若奇函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调递减，则它在对称区间 $[- b, - a]$ 上单调递增。

考古学家利用碳 $14$ 残留量测定遗址年代，与指数函数描述放射性物质衰减的模型有关。

把正方形面积 $S$ 与边长 $c$ 的关系 $c = S$ 写成幂的形式是 $c =$ ___。

某商品进价为 $30$ 元，若根据表格数据猜想日销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 的关系为 $y = 150 - 3 x$ ，请写出日销售利润 $P$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求最大日销售利润。

某遗存物中碳 $14$ 的残留量 $y$ 随时间 $t$ 变化，可用函数模型描述。根据本章引入指数函数的背景，以及函数是描述变量依赖关系的重要模型，下列说法最恰当的是哪一项？

在研究函数 $y = \frac{x - 4}{∣ x ∣ - 5}$ 时，需要先确定定义域。结合函数定义域的求法和函数的三个构成要素，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在研究幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象、奇偶性和单调性时，可以类比后续研究指数函数和对数函数的方法，即从解析式、图象和性质等方面进行比较研究。

在把正方形边长 $c$ 关于面积 $S$ 的关系写成 $c = S^{\frac{1}{2}}$ 时， $S^{\frac{1}{2}}$ 的意义来源于 ___。