3.4函数的应用

3.4函数的应用

我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.

例1设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元)，应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元).

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

分析：根据3.1.2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式 $t=g\left(x\right)$ ，再结合 $y=f(t)$ 的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式.

解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得

$$t=x-60000-x(8\%+2\%+1\%+9\%)-9600-560=0.8x-70160.$$

令t=0，得 $x=87700.$

根据个人应纳税所得额的规定可知，当 $0⩽x⩽87700$ 时， $t=0$ ，所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为

$$t=\{\begin{array}{ll}0,& 0⩽x⩽87700,\\ 0.8x-70160,& x⩾87700.\end{array}$$

结合3.1.2例8的解析式③，可得：

当 $0⩽x⩽87700$ 时， $t=0$ ，所以 $y=0$

当 $87700<x⩽132700$ 时， $0<t⩽36000$ ，所以

$$y=t\times 3\%=0.024x-2104.8;$$

当 $132700<x⩽267700$ 时， $36000<t⩽144000$ ，所以

$$y=t\times 10\%-2520=0.08x-9536;$$

当 $267700<x⩽462700$ 时， $144000<t⩽300000$ ，所以

$$y=t\times 20\%-16920=0.16x-30952;$$

当 $462700<x⩽612700$ 时， $300000<t⩽420000$ ，所以

$$y=t\times 25\%-31920=0.2x-49460;$$

当 $612700<x⩽912700$ 时， $420000<t⩽660000$ ，所以

$$y=t\times 30\%-52920=0.24x-73968;$$

当 $912700<x⩽1287700$ 时， $660000<t⩽960000$ ，所以

$$y=t\times 35\%-85920=0.28x-110476;$$

当 $x>1287700$ 时， $t>960000$ ，所以

$$y=t\times 45\%-181920=0.36x-213492.$$

所以，函数解析式为

$$y=\{\begin{array}{ll}0,& 0⩽x⩽87700,\\ 0.024x-2104.8,& 87700<x⩽132700,\\ 0.08x-9536,& 132700<x⩽267700,\\ 0.16x-30952,& 267700<x⩽462700,\\ 0.2x-49460,& 462700<x⩽612700,\\ 0.24x-73968,& 612700<x⩽912700,\\ 0.28x-110476,& 912700<x⩽1287700,\\ 0.36x-213492,& x>1287700.\end{array}\text{\hspace{1em}(④)}$$

（2）根据④，当x=153600 时，

$$y=0.08\times 153600-9536=2752.$$

所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2752元.

根据个人收入情况，利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税.

例2一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图3.4-1所示，

（1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.

图3.4-1

你能根据图3.4-1画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？

分析：当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50km/h，80 km/h，90km/h，75km/h，65km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述.

解：（1）阴影部分的面积为

$$50\times 1+80\times 1+90\times 1+75\times 1+65\times 1=360.$$

阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360 km.

（2）根据图3.4-1，有

$$s=\{\begin{array}{ll}50t+2004,& 0⩽t<1,\\ 80(t-1)+2054,& 1⩽t<2,\\ 90(t-2)+2134,& 2⩽t<3,\\ 75(t-3)+2224,& 3⩽t<4,\\ 65(t-4)+2299,& 4⩽t⩽5.\end{array}$$

这个函数的图象如图3.4-2所示.

图3.4-2

本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助．因此，我们要注意提高读图能力．另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数.

练习

1.若用模型 $y=a{x}^2$ 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(单位：m)与刹车时的速率x(单位：km/h)的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m.在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，那么这辆车是否超速行驶？

2.某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则

（1）设总成本为 $y_1$ (单位：万元)，单位成本为 $y_2$ （单位：万元)，销售总收入为 $y_3$ （单位：万元)，总利润为 $y_4$ （单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：件)的函数解析式；

（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.

习题3.4