探究

探究

观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表3.3-1内.

表3.3-1

项目	$y=x$	$y=x^2$	$y=x^3$	$y=x^{\frac{1}{2}}$	$y=x^{-1}$
定义域
值域
奇偶性
单调性

这些函数图象有公共点吗？

通过图3.3-1与表3.3-1，我们得到：

（1）函数 $y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图象都通过点（1，1)；

（2）函数 $y=x,y=x^3,y=x^{-1}$ 是奇函数，函数 $y=x^2$ 是偶函数；

（3）在区间 $(0,+\infty )$ 上，函数 $y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^{\frac{1}{2}}$ 单调递增，函数 $y=x^{-1}$ 单调递减；

（4）在第一象限内，函数 $y=x^{-1}$ 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.

例 证明幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数.

证明：函数的定义域是 $[0,+\infty )$

$\forall x_1,x_2\in [0,+\infty )$ ，且 $x_1<x_2$ ，有

$$\begin{array}{rl}& f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\\ & =\frac{(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\\ & =\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}.\end{array}$$

因为

$$x_1-x_2<0,\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0,$$

所以 $f(x_1)<f(x_2)$ ，即幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数.

练习

1．已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $(2,\sqrt{2})$ ，求这个函数的解析式.

2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1) $(-1.5{)}^3,(-1.4{)}^3;$ (2) $\frac{1}{-1.5},\frac{1}{-1.4}$。

3．根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 $f(x)=x^3$ 的单调性，并判断其奇偶性.

习题3.3

复习巩固

1．画出函数 $y=\sqrt{\left|x\right|}$ 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.

综合运用

2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量V（单位： ${\mathrm{cm}}^3/\mathrm{s}$）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比.

（1）写出气体流量V关于管道半径r的函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量为 $400\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3/s$ ，求该气体通过半径为r的管道时，其流量的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到 $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3/s$）。

3．试用描点法画出函数 $f(x)=x^{-2}$ 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.

探究与发现

探究函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象与性质

在初中，我们知道 $y=x$ 是正比例函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数．学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数．不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数．那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？

下面请同学们带着问题探究一下函数 $y=x+\frac{1}{x}$

1．你认为可以从哪些方面研究这个函数？

2．你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？

3．按照你构建的路径研究你想到的问题.

4.证明：当 $x>0$ 时， $x+\frac{1}{x}⩾2$ ，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$ ，即 $x=1$ 时取得等号；当 $x<0$ 时， $x+\frac{1}{x}⩽-2$ ，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$ ，即 $x=-1$ 时取得等号.

5．你画出的函数图象与图1类似吗?

图1

6.函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象有什么变化趋势？你能利用函数 $y=x$ 和 $y=\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势说明函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 的图象变化趋势吗?

7．通过对函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 图象与性质的探究，你有哪些体会？