综合运用

综合运用

6．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高．画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象 (示意图).

7.已知函数 $f(x)=x^2-2x,g(x)=x^2-2x(x\in [2,4])$

（1）求 $f(x),g(x)$ 的单调区间；

(2）求 $f(x),g(x)$ 的最小值.

8．（1）根据函数单调性的定义证明函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $[3,+\infty )$ 上单调递增.

（2）讨论函数 $y=x+\frac{9}{x}$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上的单调性.

（3）讨论函数 $y=x+\frac{k}{x}(k>0)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上的单调性.

9.设函数y＝f（𝑥）的定义域为D，区间 $I\subseteq D$，记 $\Delta x=x_1-x_2,\Delta y=f(x_1)-f(x_2)$ .证明：（1）函数 $y=f(x)$ 在区间I上单调递增的充要条件是： $\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2$ ，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0;$ （2）函数 $y=f(x)$ 在区间I上单调递减的充要条件是： $\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2$ ，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0.$

10．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m)为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少？

11.已知函数f（𝑥）是定义域为R的奇函数，当𝑥≥0时，$f(x)=x\left(1+x\right)$ ．画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

(第10题)

拓广探索

12.已知函数f(x)是偶函数，而且在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，判断f(x)在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.

13．我们知道，函数 $y=f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $P\left(a,b\right)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y=f(x+a)-b$ 为奇函数.

（1）求函数 $f(x)=x^3-3x^2$ 图象的对称中心；

（2）类比上述推广结论，写出“函数 $y=f(x)$ 的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为偶函数”的一个推广结论.

信息技术应用

用计算机绘制函数图象

利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象．不同的计算机软件绘制函数图象的具体操作不尽相同，但都是基于我们熟悉的描点作图，即给自变量赋值，用计算法则算出相应的函数值，再由这些对应值生成一系列的点，最后连接这些点描绘出函数图象．下面以软件《GeoGebra》为例，介绍用计算机软件绘制函数图象的方法.

一、直接输入函数绘制函数 $y=x^3$ 的图象

打开软件《GeoGebra》，在下方的输入框内直接输入“ $y=x^3$ ”，回车，在代数区就会显示该函数的解析式“ $f(x)=x^3$ ”，而在绘图区就会自动显示相应函数 $y=x^3$ 的图象 (如图1).

图1

二、绘制含参数b的函数 $y=b{x}^2(b\ne 0)$ 的图象

（1）打开软件《GeoGebra》，在输入框内输入参数“b”，回车，创建滑动条b，选择b的“属性”，依图2提示可自由设置其最小值、最大值、增量等后关闭.

（2）在输入框内直接输入函数“ $y=b\ast x^2$ ”，回车，在绘图区直接显示出当时参数b的值对应的函数 $y=b{x}^2$ 的图象 （图2).

当你左右移动滑动条中点b的位置时，函数 $y=b{x}^2$ 的图象就会“动”起来，如图2.

图2

如果有条件，请你绘制函数 $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ 的图象，并探究系数a，b，c对函数图象的影响.

3.3 幂函数

前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识研究一类新的函数．先看几个实例.

（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 $w\mathrm{kg}$，那么她需要支付 $p=w$ 元，这里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 $S=a^2$，这里S是a的函数；

（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积 $V=b^3$，这里V是b的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 $c=\sqrt{S}$，这里c是S的函数； $\sqrt{S}$ 也可以表示为 $S^{\frac{1}{2}}$；

（5）如果某人 $t\mathrm{s}$ 内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度 $v=\frac{1}{t}km/s$，即 $v=t^{-1}$，这里v是t的函数.

观察

观察（1）～（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？

实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2， $3,\frac{1}{2},-1$；它们都是形如 $y=x^{\alpha }$ 的函数.

一般地，函数 $y=x^{\alpha }$ 叫做幂函数（power function），其中x是自变量，α是常数.

对于幂函数，我们只研究 $\alpha =1,2,3,\frac{1}{2},-1$ 时的图象与性质.

幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习.

思考

结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？

通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.

在同一坐标系中画出函数 $y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图象（图3.3-1).

图3.3-1