探究

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类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？

不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表3.2-1.

表3.2-1

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=2-\Vert x\Vert$	-1	0	1	2	1	0	-1

可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.

例如，对于函数 $f(x)=x^2$ ，有

$$\begin{array}{r}f(-3)=9=f(3);\\ f(-2)=4=f(2);\\ f(-1)=1=f(1).\end{array}$$

请你仿照这个过程，说明函数 $g(x)=2-|x|$ 也是偶函数.

实际上， $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$ ，这时称函数 $f(x)=x^2$ 为偶函数.

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为D，如果 $\forall x\in D$ ，都有 $-x\in D$ ，且 $f(-x)=f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数.

例如，函数 $f(x)=x^2+1$ ， $g(x)=\frac{2}{x^2+1}$ 都是偶函数，它们的图象分别如图3.2-7（1)（2）所示.

(1)

(2)
图3.2-7

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观察函数 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象（图3.2-8)，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？

图3.2-8

可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成表3.2-2.

表3.2-2

x	...	-3	-2	-1	0	1	2	3	...
$f(x)=x$	...								...
$g\left(x\right)=\frac{1}{x}$	...								...

可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数.

例如，对于函数 $f(x)=x$ ，有

$$f(-3)=-3=-f(3);$$

$$f(-2)=-2=-f(2);$$

$$f(-1)=-1=-f(1).$$

实际上， $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $f(-x)=-x=-f(x)$ ．这时称函数 $f(x)=x$ 为奇函数.

一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 $\forall x\in D$ ，都有 $-x\in D$ ，且 $f(-x)=-f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数.

例6判断下列函数的奇偶性：

(1) $f(x)=x^4;$ (2) $f(x)=x^5$

(3） $f(x)=x+\frac{1}{x},$ (4） $f(x)=\frac{1}{x^2}.$

解：（1）函数 $f(x)=x^4$ 的定义域为R.

因为 $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $-x\in \mathbf{R}$ ，且

$$f(-x)=(-x{)}^4=x^4=f(x),$$

所以，函数 $f(x)=x^4$ 为偶函数.

（2）函数 $f(x)=x^5$ 的定义域为R.

因为 $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $-x\in \mathbf{R}$ ，且

$$f(-x)=(-x{)}^5=-x^5=-f(x),$$

所以，函数 $f(x)=x^5$ 为奇函数.

（3）函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$

因为 $\forall x\in \{x|x\ne 0\}$ ，都有 $-x\in \{x\mid x\ne 0\}$ ，且

$$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x),$$

所以，函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 为奇函数.

（4）函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 的定义域为 $\{x|x\ne 0\}$

因为 $\forall x\in \{x|x\ne 0\}$ ，都有 $-x\in \{x\mid x\ne 0\}$ ，且

$$f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}=\frac{1}{x^2}=f(x),$$

所以，函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 为偶函数.

请你仿照这个过程，说明函数 $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ 也是奇函数.

奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.