正在学习

思考

（1）设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且 $\forall x_{1}, x_{2} \in A$ 当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，我们能说函数 $f (x)$ 在区间Ⅰ上单调递增吗？你能举例说明吗？

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

例1根据定义，研究函数 $f (x) = k x + b (k \neq = 0)$ 的单调性.

分析：根据函数单调性的定义，需要考察当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 还是 $f (x_{1}) >$ $f (x_{2})$ ．根据实数大小关系的基本事实，只要考察 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 与0的大小关系.

解：函数 $f (x) = k x + b (k \neq = 0)$ 的定义域是R. $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = (k x_{1} + b) - (k x_{2} + b) = k (x_{1} - x_{2}) .$

由 $x_{1} < x_{2}$ ，得 $x_{1} - x_{2} < 0$ 所以

①当 $k > 0$ 时， $k (x_{1} - x_{2}) < 0.$ ，于是

$f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0,$

即

$f (x_{1}) < f (x_{2}) .$

这时， $f (x) = k x + b$ 是增函数.

②当 $k < 0$ 时， $k (x_{1} - x_{2}) > 0.$ ，于是

$f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0,$

即

$f (x_{1}) > f (x_{2}) .$

在初中，我们利用函数图象得到了上述结论，这里用严格的推理运算得到了函数 $f (x) = k x + b$ 的单调性.

这时， $f (x) = k x + b$ 是减函数.

例2物理学中的玻意耳定律 $p = \frac{k}{V}$ （k 为正常数）告诉我们，对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积V减小，压强 $p$ 将增大．试对此用函数的单调性证明.

分析：根据题意，只要证明函数 $p = \frac{k}{V} (V \in (0, + \infty))$ 是减函数即可.

证明： $\forall V_{1}, V_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $V_{1} < V_{2}$ ，则

$p_{1} - p_{2} = \frac{k}{V _{1}} - \frac{k}{V _{2}} = k \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1} V _{2}} .$

由 $V_{1}, V_{2} \in (0, + \infty)$ ，得 $V_{1} V_{2} > 0$

由 $V_{1} < V_{2}$ ，得 $V_{2} - V_{1} > 0$

又 $k > 0$ ，于是

$p_{1} - p_{2} > 0,$

即

$p_{1} > p_{2} .$

所以，根据函数单调性的定义，函数 $p = \frac{k}{V}, V \in (0, + \infty)$ 是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强 $p$ 将增大.

例3根据定义证明函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增.

证明： $\forall x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，有

$y_{1} - y_{2} = (x_{1} + \frac{1}{x _{1}}) - (x_{2} + \frac{1}{x _{2}}) = (x_{1} - x_{2}) + (\frac{1}{x _{1}} - \frac{1}{x _{2}}) = (x_{1} - x_{2}) + \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{1} x _{2}} = \frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} x _{2}} (x_{1} x_{2} - 1) .$

由 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，得 $x_{1} > 1, x_{2} > 1$

所以

$x_{1} x_{2} > 1, x_{1} x_{2} - 1 > 0.$

又由 $x_{1} < x_{2}$ ，得 $x_{1} - x_{2} < 0$

于是

$\frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} x _{2}} (x_{1} x_{2} - 1) < 0,$

即

$y_{1} < y_{2} .$

所以，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增.

练习

1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

(第1题)

2．根据定义证明函数 $f (x) = 3 x + 2$ 是增函数.

3．证明函数 $f (x) = - \frac{2}{x}$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增.

4．画出反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象.

（1）这个函数的定义域D是什么？

通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法.

（2）它在定义域D上的单调性是怎样的？证明你的结论.

再来观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象上有一个最低点 $(0, 0)$ ，即 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) ⩾ f (0)$ ．当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值.

?思考

你能以函数 $f (x) = - x^{2}$ 为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？

一般地，设函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，如果存在实数M满足：

(1) $\forall x \in D$ ，都有 $f (x) ⩽ M$

(2) $\exists x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = M$

那么，我们称M是函数 $y = f (x)$ 的最大值.

练习题

设集合 $A$ 是区间 $I$ 中若干个自变量取值组成的集合。若只知道对任意 $x_{1}, x_{2} \in A$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，能否断定 $f (x)$ 在整个区间 $I$ 上单调递增？

A. 能，因为

A

中任意两点都满足递增关系

B. 不能，因为单调性要求对区间

I

内任意

x_{1}, x_{2}

都成立

C. 能，只要

A

中至少有两个点即可

D. 不能，因为函数单调性只能通过图象判断

关于一次函数 $f (x) = k x + b (k \neq = 0)$ 的单调性，下列说法正确的是哪一项？

A. 定义域是

(0, + \infty)

，当

k > 0

时是增函数

B. 定义域是

R

，当

k > 0

时是增函数，当

k < 0

时是减函数

C. 定义域是

R

，无论

k

取何值都是增函数

D. 定义域是

R

，函数的单调性只由

b

决定

在玻意耳定律 $p = \frac{k}{V} (k > 0)$ 中，若 $V \in (0, + \infty)$ 且 $V_{1} < V_{2}$ ，则 $p_{1} - p_{2}$ 的符号以及函数单调性分别是怎样的？

p_{1} - p_{2} < 0

，所以

p = \frac{k}{V}

在

(0, + \infty)

上是增函数

p_{1} - p_{2} > 0

，所以

p = \frac{k}{V}

在

(0, + \infty)

上是减函数

p_{1} - p_{2} = 0

，所以

p = \frac{k}{V}

是常函数

p_{1} - p_{2}

的符号不确定，所以无法判断单调性

设 $y = x + \frac{1}{x}$ ，取任意 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ 且 $x_{1} < x_{2}$ 。下列说法正确的有哪几项？

y_{1} - y_{2} = \frac{x _{1} - x _{2}}{x _{1} x _{2}} (x_{1} x_{2} - 1)

B. 因为

x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)

，所以

x_{1} x_{2} - 1 > 0

C. 因为

x_{1} < x_{2}

，所以

x_{1} - x_{2} > 0

D. 可得

y_{1} - y_{2} < 0

，即

y_{1} < y_{2}

E. 函数

y = x + \frac{1}{x}

在

(1, + \infty)

上单调递增

下列关于一次函数 $f (x) = k x + b (k \neq = 0)$ 的说法中，正确的有哪几项？

f (x) = k x + b (k \neq = 0)

的定义域是

R

B. 若

k > 0

，则

f (x)

在

R

上单调递增

C. 若

k < 0

，则

f (x)

在

R

上单调递减

D. 若

b > 0

，则

f (x)

一定单调递增

E. 判断

f (x)

的单调性时，可考察

f (x_{1}) - f (x_{2}) = k (x_{1} - x_{2})

的符号

通过观察函数图象提出关于函数性质的猜想，再用逻辑推理加以证明，是研究函数性质的一种常用方法；例如由 $f (x) = x^{2}$ 的图象可看出其最低点是 $(0, 0)$ 。

如果函数 $f (x)$ 在定义域 $D$ 内存在实数 $M$ ，使得对任意 $x \in D$ 都有 $f (x) \leq M$ ，并且存在 $x_{0} \in D$ 使 $f (x_{0}) = M$ ，那么 $M$ 是函数 $f (x)$ 的最大值。

在证明 $p = \frac{k}{V} (k > 0)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减时，若 $0 < V_{1} < V_{2}$ ，则 $p_{1} - p_{2} = k \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1} V _{2}}$ ，因此 $p_{1} - p_{2}$ 的符号是 ___。

用差值法简要说明为什么函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增。

结合函数概念和函数性质的研究方法，说明为什么“图象上有最高点”还不足以严谨表述函数有最大值，并写出最大值的两个条件。

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练习题

设集合 A 是区间 I 中若干个自变量取值组成的集合。若只知道对任意 x1​,x2​∈A，当 x1​<x2​ 时都有 f(x1​)<f(x2​)，能否断定 f(x) 在整个区间 I 上单调递增？

关于一次函数 f(x)=kx+b (k=0) 的单调性，下列说法正确的是哪一项？

在玻意耳定律 p=Vk​ (k>0) 中，若 V∈(0,+∞) 且 V1​<V2​，则 p1​−p2​ 的符号以及函数单调性分别是怎样的？

设 y=x+x1​，取任意 x1​,x2​∈(1,+∞) 且 x1​<x2​。下列说法正确的有哪几项？

下列关于一次函数 f(x)=kx+b (k=0) 的说法中，正确的有哪几项？

通过观察函数图象提出关于函数性质的猜想，再用逻辑推理加以证明，是研究函数性质的一种常用方法；例如由 f(x)=x2 的图象可看出其最低点是 (0,0)。

如果函数 f(x) 在定义域 D 内存在实数 M，使得对任意 x∈D 都有 f(x)≤M，并且存在 x0​∈D 使 f(x0​)=M，那么 M 是函数 f(x) 的最大值。

在证明 p=Vk​ (k>0) 在 (0,+∞) 上单调递减时，若 0<V1​<V2​，则 p1​−p2​=kV1​V2​V2​−V1​​，因此 p1​−p2​ 的符号是 ___。

用差值法简要说明为什么函数 y=x+x1​ 在区间 (1,+∞) 上单调递增。