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3.1.2 函数的表示法

我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法。

解析法，就是用解析式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2。

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4。

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3。

这三种方法是常用的函数表示法。

例4 某种笔记本的单价是5元，买 $x (x \in {1, 2, 3, 4, 5})$ 个笔记本需要 $y$ 元。试用函数的三种表示法表示函数 $y = f (x)$ 。

解：这个函数的定义域是数集 ${1, 2, 3, 4, 5}$ 。

用解析法可将函数 $y = f (x)$ 表示为

$y = 5 x, x \in {1, 2, 3, 4, 5} .$

用列表法可将函数 $y = f (x)$ 表示为

笔记本数x	1	2	3	4	5
钱数y	5	10	15	20	25

用图象法可将函数 $y = f (x)$ 表示为图3.1-2。

图3.1-2

函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？

思考

（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

（2）所有函数都能用解析法表示吗？请你举出实例加以说明。

例5 画出函数 $y = ∣ x ∣$ 的图象。

解：由绝对值的概念，我们有

$y = {x, - x, x \geq 0, x < 0.$

所以，函数 $y = ∣ x ∣$ 的图象如图3.1-3所示.

像例5中 $y = {x, - x, x ⩾ 0 x < 0$ 这样的函数称为分段函数．生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等.

图3.1-3

例6 给定函数 $f (x) = x + 1, g (x) = (x + 1)^{2}, x \in R$

（1）在同一直角坐标系中画出函数 $f (x), g (x)$ 的图象；

(2） $\forall x \in R$ ，用M(x)表示 $f (x), g (x)$ 中的最大者，记为

$M (x) = max {f (x), g (x)} .$

例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = max {f (2), g (2)} = max {3, 9} = 9.$

请分别用图象法和解析法表示函数 $M (x)$

解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 $f (x), g (x)$ 的图象（图3.1-4).

图3.1-4

图3.1-5

（2）由图3.1-4中函数取值的情况，结合函数 $M (x)$ 的定义，可得函数 $M (x)$ 的图象（图3.1-5).

由 $(x + 1)^{2} = x + 1$ ，得 $x (x + 1) = 0$

解得 $x = - 1$ ，或 $x = 0.$

结合图3.1-5，得出函数M(x)的解析式为

$M (x) = ⎩ ⎨ ⎧ (x + 1)^{2}, x + 1, (x + 1)^{2}, x ⩽ - 1, - 1 < x ⩽ 0, x > 0.$

你能用其他方法求出 $M (x)$ 的解析式吗？

练习题

下列关于函数表示法的说法中，正确的是哪一项？

A. 解析法是用表格列出自变量与函数值的对应关系

B. 列表法是用图象表示两个变量之间的对应关系

C. 图象法是用图象表示两个变量之间的对应关系

D. 函数只能用解析式表示，不能用表格或图象表示

某商品单价为 $8$ 元，购买数量 $x \in {1, 2, 3, 4}$ ，总价为 $y$ 元。用解析法表示这个函数，正确的是哪一项？

y = 8 x, x \in {1, 2, 3, 4}

y = x + 8, x \in {1, 2, 3, 4}

y = 8 x, x \in R

y = \frac{x}{8}, x \in {1, 2, 3, 4}

已知 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ， $M (x) = max {f (x), g (x)}$ 。则 $M (- 2)$ 的值为多少？

- 1

0

1

4

关于函数表示法与函数图象，下列说法正确的有哪几项？

A. 解析法、列表法、图象法都是常用的函数表示法

B. 列表法适合通过表格呈现自变量与函数值的对应关系

C. 函数图象一定是光滑曲线，不能是离散的点

D. 定义域为有限数集的函数也可以用列表法表示

E. 图象法可以直观地表示两个变量之间的对应关系

函数 $y = ∣ x ∣$ 可以表示为分段函数 $y = {x, - x, x ⩾ 0, x < 0.$

出租车计费、个人所得税纳税额等实际问题常常可以用分段函数描述。

若 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ，且 $M (x) = max {f (x), g (x)}$ ，则在区间 $(- 1, 0]$ 上， $M(x)=___$ 。

请用列表法表示函数 $y = 3 x$ ，其中 $x \in {1, 2, 3, 4}$ 。

下列图形形态中，不可能作为函数图象形态的是哪一项？

A. 光滑的曲线

B. 直线

C. 离散的点

D. 每一个

x

对应多个

y

的任意图形

已知 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ， $M (x) = max {f (x), g (x)}$ 。请写出 $M (x)$ 的分段解析式。

某商品单价为 $5$ 元，购买数量 $x \in {1, 2, 3, 4, 5}$ 时费用为 $y = 5 x$ 。下列说法正确的是哪一项？

A. 这个函数与函数

y = 5 x (x \in R)

是同一个函数，因为解析式相同。

B. 这个函数的图象应是直线

y = 5 x

上对应

x = 1, 2, 3, 4, 5

的

5

个离散点。

C. 由于解析式是

y = 5 x

，所以定义域一定是

R

。

D. 这个函数不能用列表法表示，因为它已有解析式。

设 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ， $x \in R$ ，并定义 $M (x) = max {f (x), g (x)}$ 。下列说法正确的有哪几项？

A. 当

x \in (- \infty, - 1]

时，

M (x) = (x + 1)^{2}

。

B. 当

x \in (- 1, 0]

时，

M (x) = x + 1

。

C. 当

x \in (0, + \infty)

时，

M (x) = (x + 1)^{2}

。

D. 区间

(- 1, 0]

表示

- 1 < x ⩽ 0

。

E. 因为

f (x)

和

g (x)

的定义域都是

R

，所以

M (x)

不能用分段解析式表示。

判断正误：因为 $x^{2} = ∣ x ∣$ ，且 $∣ x ∣$ 可以表示为 ${x, - x, x ⩾ 0, x < 0,$ ，所以函数 $y = x^{2} (x \in R)$ 与函数 $y = x (x \in R)$ 是同一个函数。

函数 $y = ∣ x ∣$ 可用分段解析式表示为 $y=\begin{cases}x,&x\geqslant 0,\\ \text{___},&x<0.\end{cases}$

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