思考

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

下面，我们先考察一元二次不等式 $x^2-12x+20<0$ 与二次函数 $y=x^2-12x+20$ 之间的关系.

如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的图象，图象与x轴有两个交点．这两个交点的横坐标就是方程 $x^2-12x+20=0$ 的两个实数根 $x_1=2,x_2=10$，因此二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的图象与x轴的两个交点是(2，0）和（10，0).

一般地，对于二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$，我们把使 $a{x}^2+bx+c=0$ 的实数x叫做二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的零点.于是，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点是 $x_1=2,x_2=10$

从图2.3-1可以看出，二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点 $x_1=2,x_2=10$ 将x轴分成三段．相应地，当 $x<2$ 或 $x>10$ 时，函数图象位于x轴上方，此时 $y>0$，即 $x^2-12x+20>0$；当 $2<x<10$ 时，函数图象位于x轴下方，此时 $y<0$，即 $x^2-12x+20<0$，所以，一元二次不等式 $x^2-12x+20<0$ 的解集是

图2.3-1

$$\{x\mid 2<x<10\}.$$

因为 $\{x\mid 2<x<10\}\subseteq \{x\mid 0<x<12\}$，因此当围成的矩形的一条边长x满足 $2<x<10$ 时，围成的矩形区域的面积大于 $20{\mathrm{m}}^2$

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $a{x}^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集．因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.

我们知道，对于一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0(a>0)$，设 $\Delta =b^2-4ac$，它的根按照 $\Delta >0,\Delta =0,\Delta <0$ 可分为三种情况．相应地，二次函数 $y=a{x}^2+bx+c(a>0)$ 的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $a{x}^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集（表2.3-1).

表2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

项目	$\Delta >0$	$\Delta =0$	$\Delta <0$
$y=a{x}^2+bx+c(a>0)$ 的图象
$a{x}^2+bx+c=0(a>0)$ 的根	有两个不相等的实数根 $x_1,x_2(x_1<x_2)$	有两个相等的实数根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$	没有实数根
$a{x}^2+bx+c>0(a>0)$ 的解集	$\{x\mid x<x_1，或x>x_2\}$	$\{x\mid x\ne -\frac{b}{2a}\}$	$\mathbf{R}$
$a{x}^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集	$\{x\mid x_1<x<x_2\}$	$\varnothing$	$\varnothing$

第二章 一元二次函数、方程和不等式

例1 求不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集.

分析：因为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根是函数 $y=x^2-5x+6$ 的零点，所以先求出 $x^2-5x+6=0$ 的根，再根据函数图象得到 $x^2-5x+6>0$ 的解集.

解：对于方程 $x^2-5x+6=0$ ，因为 $\Delta >0$ ，所以它有两个实数根．解得 $x_1=2,x_2=3$

画出二次函数 $y=x^2-5x+6$ 的图象（图2.3-2)，结合图象得不等式 $x^2-5x+6>0$ 的解集为 $\{x\mid x<2$ ，或 $x>3\}$

图2.3-2

例2 求不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集.

解：对于方程 $9x^2-6x+1=0$ ，因为 $\Delta =0$ ，所以它有两个相等的实数根，解得 $x_1=x_2=\frac{1}{3}$

画出二次函数 $y=9x^2-6x+1$ 的图象（图2.3-3)，结合图象得不等式 $9x^2-6x+1>0$ 的解集为 $\{x\mid x\ne \frac{1}{3}\}$

图2.3-3

例3 求不等式 $-x^2+2x-3>0$ 的解集.

解：不等式可化为 $x^2-2x+3<0.$

因为 $\Delta =-8<0$ ，所以方程 $x^2-2x+3=0$ 无实数根. 画出二次函数 $y=x^2-2x+3$ 的图象（图2.3-4).

图2.3-4

对于二次项系数是负数（即 $a<0$）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.

结合图象得不等式 $x^2-2x+3<0$ 的解集为 $\varnothing$

因此，原不等式的解集为 $\varnothing$.

现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？

利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程．这里，我们以求解可化成 $a{x}^2+bx+c>0(a>0)$ 形式的不等式为例，用框图表示其求解过程（图2.3-5).

图2.3-5