2. 相似三角形的判定

2. 相似三角形的判定

相似三角形的判定指出了“满足什么条件的两个三角形相似”。初中学过如下判定定理：

（1）三边成比例的两个三角形相似；

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）两角分别相等的两个三角形相似。

记 $p_1$：三边成比例，$p_2$：两边成比例且夹角相等，$p_3$：两角分别相等，我们有 $p_1\Rightarrow q，p_2\Rightarrow q，p_3\Rightarrow q$，即 $p_1,p_2,p_3$ 分别给出了 $q$ 的一个充分条件。

上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出了相似三角形的充分条件。事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件，例如“相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）。

利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形。

想一想：（1）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（2）利用判定定理可以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？

3. 相似三角形的性质

相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件。换言之，如果不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似。在初中，我们学过的相似三角形性质定理有：

（1）相似三角形对应线段的比都相等（等于相似比），特别地，相似三角形的对应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等（等于相似比）；

（2）相似三角形的对应角相等；

（3）相似三角形周长的比等于对应边之比（相似比）；

（4）相似三角形面积的比等于对应边之比的平方（相似比的平方）。

记 $r_1$：对应线段的比等于相似比，$r_2$：对应角相等，$r_3$：周长的比等于对应边之比，$r_4$：面积的比等于对应边之比的平方，我们有 $q\Rightarrow r_1，q\Rightarrow r_2，q\Rightarrow r_3，q\Rightarrow r_4$，即 $r_1,r_2,r_3,r_4$ 分别给出了 $q$ 的一个必要条件，例如，如果 $r_1$ 不成立，即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似。因此，利用性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形。

想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？

以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方面给出了相似三角形的必要条件，你能给出相似三角形的其他必要条件吗？

分析上述命题，可以发现，有些条件是 $q$ 的充要条件，例如 $p_1(r_1),p_2,p_3(r_2)$，据此可以构造出相似三角形的等价定义：

（1）三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形；

（3）两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形。

由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试一试吗？

请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）等图形的知识进行梳理。

1.5 全称量词与存在量词

我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定。

1.5.1 全称量词与存在量词

思考

下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）$x>3$；

（2）$2x+1$ 是整数；

（3）对所有的 $x\in \mathbf{R}，x>3$；

（4）对任意一个 $x\in \mathbf{Z}，2x+1$ 是整数。

语句（1）（2）中含有变量 $x$，由于不知道变量 $x$ 代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题。语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 $x$ 进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 $x$ 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题。

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“$\forall$”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。例如，命题“对任意的 $n\in \mathbf{Z}，2n+1$ 是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题。

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。

通常，将含有变量 $x$ 的语句用 $p(x),q(x),r(x),\cdots$ 表示，变量 $x$ 的取值范围用 $M$ 表示。那么，全称量词命题“对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”可用符号简记为

$$\forall x\in M,p(x).$$

例1 判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）$\forall x\in \mathbf{R},|x|+1⩾1$；

（3）对任意一个无理数 $x，x^2$ 也是无理数。

分析：要判定全称量词命题“$\forall x\in M,p(x)$”是真命题，需要对集合 $M$ 中每个元素 $x$，证明 $p(x)$ 成立；如果在集合 $M$ 中找到一个元素 $x_0$，使 $p(x_0)$ 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。

解：（1）2是素数，但2不是奇数。所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题。

①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.

②这个方法就是“举反例” (2) $\forall x\in \mathbf{R}$ ，总有 $|x|⩾0$ ，因而 $|\mathbf{x}|+1\ge 1$ .所以，全称量词命题“$\forall x\in \mathbf{R},|x|+1\ge 1$”是真命题.

(3） $\sqrt{2}$ 是无理数，但 $(\sqrt{2}{)}^2=2$ 是有理数．所以，全称量词命题“对每一个无理数 $x,x^2$ 也是无理数”是假命题.

思考

下列语句是命题吗？比较（1）和（3)，（2）和（4)，它们之间有什么关系？

(1) 2x+1=3;

（2）x能被2和3整除；

（3）存在一个 $x\in \mathbf{R}$ ，使 $2x+1=3$

（4）至少有一个 $x\in \mathbf{Z}$ ，x能被2和3整除.

容易判断，（1)（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3)（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3)（4）是命题.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier)，并用符号“$\exists$”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.

常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。

存在量词命题“存在M中的元素𝑥， $p\left(x\right)$ 成立”可用符号简记为 $$\exists x\in M,p(x).$$

例2判断下列存在量词命题的真假：

（1）有一个实数𝑥，使 $x^2+2x+3=0$

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

（3）有些平行四边形是菱形.

分析：要判定存在量词命题“$\exists x\in M,p\left(x\right)$”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使 $p(x)$ 成立即可；如果在集合M中，使 $p(x)$ 成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.

解：（1）由于 $\Delta =2^2-4\times 3=-8<0$ ，因此一元二次方程 $x^2+2x+3=0$ 无实根．所以，存在量词命题“有一个实数x，使 $x^2+2x+3=0$”是假命题.

（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.

练习

1．判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是 $360^{\circ };$

（2）任何实数都有算术平方根；

(3） $\forall x\in \{y\mid y$ 是无理数}， $x^3$ 是无理数.

2．判断下列存在量词命题的真假：

（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；

（2）至少有一个整数n，使得 $n^2+n$ 为奇数；

(3） $\exists x\in \{y\mid y$ 是无理数}， $x^2$ 是无理数.

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合 $A=\{1,2,3\}$ 的真子集”的否定为“空集不是集合 $A=\{1,2,3\}$ 的真子集”．下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

探究

写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3） $\forall x\in \mathbf{R},x+|x|\ge 0.$

它们与原命题在形式上有什么变化？

上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ $\forall x\in M,p(x)$”的形式．其中命题 （1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，

存在一个矩形不是平行四边形；

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，

存在一个素数不是奇数；

命题（3）的否定是“并非所有的 $x\in \mathbf{R},x+|x|\ge 0$”，也就是说，

$$\exists x\in \mathbf{R},x+|x|<0.$$

从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“$\forall x\in M,p\left(x\right)$”，则它的否定为“并非 $\forall x\in M,p\left(x\right)$”，也就是“$\exists x\in M,p(x)$ 不成立”．通常，用符号“$\neg p(x)$”表示“$p\left(x\right)$ 不成立”

对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：

全称量词命题：

$$\forall x\in M,p\left(x\right),$$

它的否定：

$$\exists x\in M,\neg p(x).$$

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.

例3写出下列全称量词命题的否定：

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）对任意 $x\in \mathbf{Z},x^2$ 的个位数字不等于3.

解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.

（3）该命题的否定：$\exists x\in \mathbf{Z},x^2$ 的个位数字等于3.