探究

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通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件。

另外，我们再看平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件。

上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式。例如：

两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；

对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。

类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等。

例4 已知：$\odot O$的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。求证：$d=r$是直线l与$\odot O$相切的充要条件。

分析：设$p:d=r$，q：直线l与$\odot O$相切。要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（$p⟹q$）和必要性（$q\Rightarrow p$）即可。

证明：设$p:d=r$，q：直线l与$\odot O$相切。

（1）充分性 $(p\Rightarrow q)$ ：如图1.4-2，作 $OP\perp l$ 于点P，则 $OP=d$。若 $d=r$，则点P在 $\odot O$ 上。在直线 $l$ 上任取一点Q（异于点P），连接OQ。在 $\mathrm{Rt}△OPQ$ 中，$OQ>OP=r$，所以，除点P外直线 $l$ 上的点都在 $\odot O$ 的外部，即直线 $l$ 与 $\odot O$ 仅有一个公共点P。所以直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切。

图1.4-2

（2）必要性 $(q\Rightarrow p)$ ：若直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切，不妨设切点为P，则 $OP\perp l$，因此，$d=OP=r$。

由（1）（2）可得，$d=r$ 是直线与 $\odot O$ 相切的充要条件。

练习

1. 下列各题中，哪些 $p$ 是 $q$ 的充要条件？

（1）$p$：三角形为等腰三角形，$q$：三角形存在两角相等；

（2）$p$：$\odot O$ 内两条弦相等，$q$：$\odot O$ 内两条弦所对的圆周角相等；

（3）$p：A\cap B$ 为空集，$q：A$ 与 $B$ 之一为空集。

2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件。

3. 证明：如图，$AC=BD$ 是梯形 $ABCD$ 为等腰梯形的充要条件。

（第3题）

习题1.4

复习巩固

1. 举例说明：

（1）$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；

（2）$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；

（3）$p$ 是 $q$ 的充要条件。

2. 在下列各题中，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：

（1）$p$：三角形是等腰三角形，$q$：三角形是等边三角形；

（2）$p$：一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 有实数根，$q：b^2-4ac⩾0(a\ne 0)$；

（3）$p：a\in P\cap Q，q：a\in P$；

（4）$p：a\in P\cup Q，q：a\in P$；

（5）$p：x>y，q：x^2>y^2$。

3. 判断下列命题的真假：

（1）点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在 $\odot O$ 外的充要条件；

（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；

（3）$A\cup B=A$ 是 $B\subseteq A$ 的必要不充分条件；

（4）$x$ 或 $y$ 为有理数是 $xy$ 为有理数的既不充分也不必要条件。

综合运用

4. 已知 $A=\{x\mid x$ 满足条件 $p\}$，$B=\{x\mid x$ 满足条件 $q\}$，

（1）如果 $A\subseteq B$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？

（2）如果 $B\subseteq A$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？

（3）如果 $A=B$，那么 $p$ 是 $q$ 的什么条件？

5. 设 $a,b,c\in \mathbf{R}$。证明：$a=b=c$ 是 $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$ 的充要条件。

拓广探索

6. 设 $a,b,c$ 分别是 $△ABC$ 的三条边，且 $a⩽b⩽c$。我们知道，如果 $△ABC$ 为直角三角形，那么 $a^2+b^2=c^2$（勾股定理）。反过来，如果 $a^2+b^2=c^2$，那么 $△ABC$ 为直角三角形（勾股定理的逆定理）。由此可知，$a^2+b^2=c^2$ 是 $△ABC$ 为直角三角形的充要条件。

请利用边长 $a,b,c$ 分别给出 $△ABC$ 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明。

阅读与思考

几何命题与充分条件、必要条件

通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条件给出它的性质定理。利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进我们更深入地理解几何图形及其关系。下面以相似三角形为例进行说明。

为了方便，我们记 $q$：两个三角形相似。

1. 相似三角形的定义

三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

记 $p$：三个角分别相等且三条边成比例。因为 $p\Rightarrow q，q\Rightarrow p$，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件。