复习巩固

复习巩固

1.集合 $A=\{x\mid 2⩽x<4\},B=\{x\mid 3x-7⩾8-2x\}$ ，求 $A\cup B,A\cap B$

2.设 $A=\{x\mid x$ 是小于9的正整数}， $B=\{1,2,3\}$， $C=\{3,4,5,6\}$．求 $A\cap B,A\cap C$ , $A\cap (B\cup C),A\cup (B\cap C)$

3．学校开运动会，设 $A=\{x\mid x$ 是参加100m跑的同学}， $B=\{x\mid x$ 是参加200m跑的同学}， $C=\{x\mid x$ 是参加400m跑的同学}$，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：

(1) $A\cup B$ (2) $A\cap C.$

综合运用

4.已知集合 $A=\{x\mid 3⩽x<7\},B=\{x\mid 2<x<10\}$，求 ${\complement }_{\mathbf{R}}(A\cup B),{\complement }_{\mathbf{R}}(A\cap B),({\complement }_{\mathbf{R}}A)\cap B,A\cup ({\complement }_{\mathbf{R}}B)$

5.设集合 $A=\{x\mid (x-3)(x-a)=0,a\in \mathbf{R}\},B=\{x\mid (x-4)(x-1)=0\}$，求 $A\cup B,A\cap B$

拓广探索

6.已知全集 $U=A\cup B=\{x\in \mathbf{N}\mid 0⩽x⩽10\},A\cap ({\complement }_{U}B)=\{1,3,5,7\}$，试求集合 $B$。

阅读与思考

集合中元素的个数

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）来表示有限集合A中元素的个数。例如，$A=\{a,b,c\}$，则 $\mathrm{card}(A)=3$。

card 是英文 cardinal（基数）的缩写。

看一个问题。某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？

回答两次一共进了10(=6+4)种，显然是不对的。让我们试着从集合的角度考虑这个问题。

用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，就有

A={圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，

B={圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}。

这里 $\mathrm{card}(A)=6$，$\mathrm{card}(B)=4$。求两次一共进了几种货，这个问题指的是求 $\mathrm{card}(A\cup B)$，这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是 $\mathrm{card}(A\cap B)$。$\mathrm{card}(A)$，$\mathrm{card}(B)$，$\mathrm{card}(A\cup B)$，$\mathrm{card}(A\cap B)$ 之间有什么关系呢？

可以算出

$$\begin{gathered} \mathrm{card}(A\cup B)=8, \\ \mathrm{card}(A\cap B)=2. \end{gathered}$$

一般地，对任意两个有限集合A，B，有

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

再来看一个问题。学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

用集合A表示田径运动会参赛的学生，用集合B表示球类运动会参赛的学生，就有

$A=\{x\mid x是田径运动会参赛的学生\}$，

$B=\{x\mid x是球类运动会参赛的学生\}$，

那么

$A\cap B=\{x\mid x是两次运动会都参赛的学生\}$，

$A\cup B=\{x\mid x是所有参赛的学生\}$，

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)=8+12-3=17.$$

所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。

我们也可以用 Venn 图来求解。

在上图中相应于 $A\cap B$ 的区域里先填上 $3$（$\mathrm{card}(A\cap B)=3$），再在 $A$ 中不包括 $A\cap B$ 的区域里填上 $5$（$\mathrm{card}(A)-\mathrm{card}(A\cap B)=5$），在 $B$ 中不包括 $A\cap B$ 的区域里填上 $9$（$\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)=9$），最后把这三个数加起来得 $17$，这就是 $\mathrm{card}(A\cup B)$。

这里的3是表示元素的个数，而不是元素。图中我们特别加上括号，另外两个数5，9也一样。

这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性。对于有限集合 $A,B,C$，你能发现 $\mathrm{card}(A\cup B\cup C)$，$\mathrm{card}(A)$，$\mathrm{card}(B)$，$\mathrm{card}(C)$，$\mathrm{card}(A\cap B)$，$\mathrm{card}(B\cap C)$，$\mathrm{card}(A\cap C)$，$\mathrm{card}(A\cap B\cap C)$ 之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算。

有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来。而对于元素个数无限的集合，如

$$\begin{gathered} A=\{1,2,3,4,\cdots ,n,\cdots \}, \\ B=\{2,4,6,8,\cdots ,2n,\cdots \}, \end{gathered}$$

我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？

1.4 充分条件与必要条件

在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若 $p$，则 $q$”“如果 $p$，那么 $q$”等形式。其中 $p$ 称为命题的条件，$q$ 称为命题的结论。本节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考察“若 $p$，则 $q$”形式的命题中 $p$ 和 $q$ 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件。

1.4.1 充分条件与必要条件