A.2.4 卡尔曼平滑

A.2.4 卡尔曼平滑

到目前为止，我们利用当前和过去的数据构建了状态变量 ${\xi }_{t|t}$ 的估计值。在"实时"情况下，t 时刻的信息当然是计算 t 期变量估计值时所能获得的最新信息。在某些情况下，我们可能更感兴趣的是利用所有过去、当前和未来的数据，计算 t 时刻未观测状态变量的最佳估计值，即 ${\xi }_{t|T}:[{\xi }_{t|T}=E[{\xi }_t|y_1,\dots ,y_T],0\le t\le T]$。

卡尔曼平滑器通过以下递推方程实现这一目标：

$${\xi }_{t|T}={\xi }_{t|t}+P_{t|t}{F}^{\prime }{P}_{t+1|t}^{-1}({\xi }_{t+1|T}-{\xi }_{t+1|t}),\text{\hspace{1em}(A.25)}$$

$$P_{t|T}=P_{t|t}+P_{t|t}{F}^{\prime }{P}_{t+1|t}^{-1}(P_{t+1|T}-P_{t+1|t})P_{t+1|t}^{-1}F{P}_{t|t}.\text{\hspace{1em}(A.26)}$$

构建序列 $\{{\xi }_{t|T}\}$ 和 $\{P_{t|T}\}$ 非常简单，可通过从末端 $(t=T)$ 开始的后向递推来完成。卡尔曼滤波方程的末项给出了卡尔曼平滑器的起始点，即 ${\xi }_{T|T}$ 和 $P_{T|T}$。由此我们可以利用 (A.25) 和 (A.26) 计算 ${\xi }_{T-1|T}$ 和 $P_{T-1|T}$。以这种方式从数据末端到数据起点继续进行，即 $t=T,T-1,\dots ,1$，即可得到平滑后的序列。

卡尔曼平滑器方程的推导方式与更新方程的推导方式非常类似。考虑 ${\xi }_T-{\xi }_{T|T-1}$ 和 ${\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1}$ 这两个对象。给定 $y_1,\dots ,y_{T-1}$ 中的信息，它们的期望由下式给出：$E_{t-1}[({\xi }_T-{\xi }_{T|T-1})({\xi }_T-{\xi }_{T|T-1}{)}^{\prime }]=P_{T|T-1}$，以及 $E_{t-1}[({\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1})({\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1}{)}^{\prime }]=P_{T-1|T-1}$。此外，协方差的期望为

$$\begin{array}{rl}& E_{t-1}[({\xi }_T-{\xi }_{T|T-1})({\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1}{)}^{\prime }]\\ & =E_{t-1}[(F({\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1})+v_T)({\xi }_{T-1}-{\xi }_{T-1|T-1}{)}^{\prime }]\\ & =F{P}_{T-1|T-1}.\end{array}$$

给定 $y_1,\dots ,y_{T-1},{\xi }_T$ 时，${\xi }_{T-1|T}-{\xi }_{T-1|T-1}$ 的最佳线性投影为

$${\xi }_{T-1|T}-{\xi }_{T-1|T-1}=P_{T|T}{F}^{\prime }{P}_{T|T-1}^{-1}({\xi }_T-{\xi }_{T|T-1}).\text{\hspace{1em}(A.27)}$$

用给定 $y_1,\dots ,y_T$ 时的最佳线性投影 ${\xi }_{T|T}$ 替代未观测状态 ${\xi }_{T;\xi }$，即可得到 (A.27)。类似的推导可以得到均方误差矩阵的递推方程。因此，这类平滑估计利用了直到 T 时刻的数据中的所有信息。注意一个关键区别：卡尔曼滤波器是一个单边的、随时间变化的线性滤波器，其时变性源于方差的更新。相比之下，卡尔曼平滑器是一个双边的随时间变化的滤波器。

A.3 概率的阶

概率的阶的概念是非随机无穷序列阶的直接推广，因此我们用后者来引出前者。

定义。对于序列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 和 $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$，若 ${\lim }_{n\to \infty }(x_n/a_n)=0$，则称 $x_n=o(a_n)$。若存在常数 K 使得对于所有充分大的 n 都有 $|x_n/a_n|<K$，则称 $x_n$ 是 $O(a_n)$。