A.2.2.2 霍德里克–普雷斯科特滤波器

A.2.2.2 霍德里克-普雷斯科特滤波器

霍德里克-普雷斯科特（HP）滤波器可以写成一方程组的形式，

$$\begin{array}{r}{\Delta }^2{g}_t=u_t,\end{array}$$

$$y_t=g_t+w_t.$$

这几乎已经处于状态空间形式，只是不可观测的状态服从 AR(2) 过程而非 AR(1) 过程。这可以通过将模型写成伴随形式来处理，如下所示：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\xi }_{1t}}{{\xi }_{2t}}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\xi }_{1t-1}}{{\xi }_{2t-1}}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)u_t,$$

然后注意到

$$\begin{array}{r}{\xi }_{1t}=2{\xi }_{1t-1}-1{\xi }_{2t-1}+u_t\\ =2{\xi }_{1t-1}-1{\xi }_{1t-2}+u_t,\end{array}$$

或者，重新整理后，

$$\Delta {\xi }_{1t}=\Delta {\xi }_{1t-1}+u_t,$$

所以 $g_t={\xi }_{1t}$。观测方程的形式为

$$y_t=\left(10\right){\xi }_t+w_t,$$

这就将 HP 滤波器写成了状态空间形式。

A.2.2.3 缺失观测值

处理缺失观测值的一种方法是利用卡尔曼滤波器来"填充"数据，从而推断出对缺失数据点的最佳估计。这可以通过将本应观测到的序列视为状态变量，并将其与实际观测到的变量联系起来来实现。对于已观测到的数据，两者必须相同，但在其他情况下可以不同。这意味着观测方程中乘以 ${\xi }_t$ 的 H 矩阵随时间变化。

例如，考虑一个二元 VAR(1)，其中第一个变量的某些观测值缺失：

$$\left(\begin{array}{l}{y}_{1t}\\ y_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{y}_{1t-1}\\ y_{2t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}{v}_{1t}\\ v_{2t}\end{array}\right).$$

写成状态空间形式，我们有

$$\left(\begin{array}{l}{\xi }_{1t}\\ {\xi }_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{\xi }_{1t-1}\\ {\xi }_{2t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}{v}_{1t}\\ v_{2t}\end{array}\right),$$

$$\begin{array}{r}{y}_t=H_t{\xi }_t.\end{array}$$

在我们观测到整个向量 $y_t$ 的时期，$H_t=I_2$。当我们未观测到 $y_t$ 时，观测方程可以设为 $y_{2t}={\xi }_{2t}$，即 $y_{2t}=H_t{\xi }_t$，其中 $H_t=[0,1]$。$H_t$ 和观测方程的维度都会发生变化。这对卡尔曼滤波器并不构成问题，因为它会相应地进行调整。

当 ${\gamma }_t$ 被完全观测时，$H_t=I$（且 $R=0$），因此预测方程为

$$\begin{array}{rcl}& & y_{t|t-1}={\xi }_{t|t-1},\\ & & \\ & & G_{t|t-1}=P_{t|t-1},\end{array}$$

而更新方程变为

$$\begin{array}{rl}& {\xi }_{t\mid t}={\xi }_{t\mid t-1}+P_{t\mid t-1}{P}_{t\mid t-1}^{-1}(y_t-y_{t\mid t-1})\\ & ={\xi }_{t\mid t-1}+(y_t-{\xi }_{t\mid t-1})\\ & =y_t.\end{array}$$

因此插值结果即为观测值。当 ${\gamma }_{1t}$ 未被观测时，更新方程提供了对缺失观测值的估计。

A.2.3 参数估计

许多应用中，系数矩阵 $F$、$H$、$Q$ 和 $R$ 中含有未知参数。这些参数可以利用卡尔曼滤波器进行估计，它为构造数据的似然函数或伪似然函数提供了一种便利的方法。

假设 $v_t$ 和 $w_t$ 服从正态分布。根据方程 (A.13) 和 (A.14)，给定第 $t-1$ 期信息，我们有

$$\begin{array}{r}{y}_{t|t-1}\sim \mathrm{N}(H{\xi }_{t|t-1},G_{t|t-1}),\end{array}$$

这依赖于未知的参数矩阵 $F$、$H$、$Q$ 和 $R$，因为

$$\begin{array}{rl}{G}_{t|t-1}=H{P}_{t|t-1}{H}^{\prime }+R,& \\ P_{t|t-1}=F{P}_{t-1|t-1}{F}^{\prime }+Q.& \end{array}$$

利用正态性假设，我们可以写出给定过去观测值条件下，观测值 $y_t$ 的似然函数：

\begin{array} { r l } {f _ {y _ { t }}} ( y _ { t }| y _ { t - 1} , \dots ) = ( 2 \pi ) ^ { - n / 2 } | G _ { t | t - 1 } | ^ { - 1 / 2 } } & { } \\ { \quad } & { \times \exp \left\{ - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ( y _ { t } - H ^ { \prime } \xi _ { t | t - 1 } ) ^ { \prime } G _ { t | t - 1 } ^ { - 1 } ( y _ { t } - H ^ { \prime } \xi _ { t | t - 1 } ) \right\} . } \end{array}\tag{A.23}

在对初始值 ${\nu }_1$ 的分布作出进一步假设后，观测数据的似然函数变为

L = \log f _ {y _ { 1}} ( y _ { 1}) + \sum _ { t = 2 } ^ { T } f _ {y _ { t}}} ( y _ { t}| y _ { t - 1} , . . . ) .\tag{A.24}

通过对表达式进行最大化，可以获得未知参数矩阵的估计量。当然，我们需要确保模型是可识别的，并且还需要注意用于构造(A.24)最大值的数值方法。复杂的模型可能会导致似然函数曲面难以最大化。此外，方差等参数是有界的。一种方法是对状态空间模型进行回归。假设我们已有 $\{{\xi }_{t\mid t}\}$ 的"初始值"，并对模型使用似乎不相关回归：

$$\begin{array}{l}{\xi }_t=F{\xi }_{t-1}+v_t,\\ {\gamma }_t=H{\xi }_t+w_t,\end{array}$$

从而得到 $F$、$Q$、$H$ 和 $R$ 的估计值。这些估计值随后被用于生成 $\{{\xi }_{t\mid t}\}$ 的新值。这是 EM 算法（Dempster 等，1977）的一个特例，并已被 Watson 和 Engle（1983）等作者应用过。