A.2.1 卡尔曼滤波器的推导

A.2.1 卡尔曼滤波的推导

在描述了卡尔曼滤波的工作原理之后，我们简要推导预测方程。利用 (A.1) 和 (A.2)，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\xi }_{t\mid t-1}=E_{t-1}{\xi }_t=E_{t-1}\left[F{\xi }_{t-1}+v_t\right]=F{\xi }_{t-1\mid t-1},\\ & y_{t\mid t-1}=E_{t-1}{y}_t=E_{t-1}\left[H{\xi }_t+w_t\right]=H{\xi }_{t-1\mid t-1},\end{array}$$

即分别为 (A.15) 和 (A.13)。均方误差值由此得出。注意

$$\begin{array}{r}{\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}=F{\xi }_{t-1}+v_t-F{\xi }_{t-1|t-1}\\ =F({\xi }_{t-1}-{\xi }_{t-1|t-1})+v_t,\end{array}$$

因此，利用 (A.3)，我们得到 (A.16)：

$$\begin{array}{rl}& P_{t|t-1}\equiv E\left[({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1})({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}{)}^{\prime }\right]\\ & =FE\left[({\xi }_{t-1}-{\xi }_{t-1|t-1})({\xi }_{t-1}-{\xi }_{t-1|t-1}{)}^{\prime }\right]F^{\prime }+Q\\ & =F{P}_{t-1|t-1}{F}^{\prime }+Q,\end{array}$$

其中协方差为 0，因为 $v_t$ 是白噪声。

接下来讨论 $y_t$。

$$\begin{array}{rl}& G_{t\mid t-1}\equiv E\left[(y_t-y_{t\mid t-1})(y_t-y_{t\mid t-1}{)}^{\prime }\right]\\ & =E\left[H({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1}+w_t)({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1}+w_t{)}^{\prime }{H}^{\prime }\right]\\ & =H{P}_{t\mid t-1}{H}^{\prime }+R,\end{array}\text{\hspace{1em}(A.19)}$$

这给出了 (A.14)。

对于更新方程，我们需要推导出在观测到 $y_t$ 的条件下更新状态预测的最优方法。状态的预测误差与实际值预期是相关的，因此

$$\left(\begin{array}{l}{\gamma }_t-y_{t\mid t-1}\\ {\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1}\end{array}\right)$$

具有非对角的方差-协方差矩阵。这正是线性投影发挥作用的地方。一旦我们知道了方差-协方差矩阵，就可以利用 $y_t$ 中观测到的预测误差来更新 ${\xi }_t$。协方差为

$$\begin{array}{rl}& E[({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1})(y_t-y_{t\mid t-1}{)}^{\prime }]=E[({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1})({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1}+w_t{)}^{\prime }{H}^{\prime }]\\ & =E[({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1})({\xi }_t-{\xi }_{t\mid t-1}{)}^{\prime }]H^{\prime }\\ & =P_{t\mid t-1}{H}^{\prime }.\end{array}$$

因此，我们有

$$\left(\begin{array}{c}{y}_t-y_{t|t-1}\\ {\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}\end{array}\right)\sim \left[\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{G}_{t|t-1}& H{P}_{t|t-1}\\ P_{t|t-1}{H}^{\prime }& P_{t|t-1}\end{array}\right)\right]$$

线性预测量为

$${\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}=P_{t|t-1}{H}^{\prime }{G}_{t|t-1}^{-1}(y_t-y_{t|t-1}).$$

这就给出了 (A.17) 中 ${\xi }_{t\mid t}$ 的更新方程。

类比 (A.11)，方差为${}^1$

$$\begin{array}{r}{P}_{t\mid t}=P_{t\mid t-1}-P_{t\mid t-1}{H}^{\prime }{G}_{t\mid t-1}^{-1}H{P}_{t\mid t-1},\end{array}\text{\hspace{1em}(A.20)}$$

这正是方程 (A.18)，从而完成了预测方程和更新方程的推导。

要初始化系统，我们需要选择一组先验值，即在获得任何观测数据之前的起始值。如果模型是平稳的，我们可以从无条件分布中选择。假设 $F$ 的根都落在单位圆外，则该分布以 0 为中心，因此我们只需令 ${\xi }_{1|0}=0$ 并使用

$$E\left[{\xi }_1{\xi }_1^{\prime }\right]=FE\left[{\xi }_0{\xi }_0^{\prime }\right]F^{\prime }+E\left[v_1{v}_1^{\prime }\right],$$

或者等价地，

$${\Sigma }_{\xi }=F{\Sigma }_{\xi }{F}^{\prime }+Q,$$

于是

$$\mathrm{vec}({\Sigma }_{\xi })=[I_r-(F\otimes F^{\prime }){]}^{-1}\mathrm{vec}(Q).$$

我们也可以从具有矩 $(0,{\Sigma }_{\xi })$ 的分布中抽取 ${\xi }_{1|0}$。对于非平稳模型，初始值的选择并不明显。一种方法是将初始值作为待估计的参数保留。

A.2.2 例子

只要能将模型写成状态空间形式，我们就可以使用上述方法。唯一额外的问题是模型是否可识别，以及是否能独立于初始化而实现收敛。

A.2.2.1 构建一致指标

常见的经济活动指标（如 GDP）是在事件发生之后才被测量的，因此它们实际上只是经济状态的滞后指标。Stock 和 Watson (2002a) 使用卡尔曼滤波来构建一个追踪经济状态、记为 $C_t$ 的不可观测成分的估计。假设我们观测到一组宏观经济变量 $Y_t=(Y_{1t},\dots ,Y_{nt}{)}^{\prime }$，它们具有一个共同成分 $C_t$ 和特异误差 ${\chi }_{it}$，两者都服从 AR(1) 过程：

$$\begin{array}{rcl}& & Y_{it}={\gamma }_i{C}_t+{\chi }_{it},\\ & & \\ & & C_t={\varphi }_c{C}_{t-1}+v_{ct},\\ & & \\ & & {\chi }_{it}={\varphi }_i{\chi }_{it-1}+v_{it}.\end{array}$$

假设 $C_t$ 和 ${\chi }_{it},i=1,\dots ,n$ 都是不可观测的，状态方程可以写为

$${\xi }_t=\left[\begin{array}{c}{C}_t\\ {\chi }_{1t}\\ ⋮\\ {\chi }_{nt}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{cccc}{\varphi }_c& 0& \cdots & 0\\ 0& {\varphi }_1& 0& 0\\ ⋮& 0& \ddots & 0\\ 0& 0& 0& {\varphi }_n\end{array}\right){\xi }_{t-1}+\left(\begin{array}{c}{v}_{ct}\\ v_{1t}\\ ⋮\\ v_{nt}\end{array}\right),$$

而观测变量 $Y_t$ 的量测方程变为

$$y_t=\left[\begin{array}{l}{y}_{1t}\\ y_{2t}\\ ⋮\\ y_{nt}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{llll}{\gamma }_1& 1& 0& 0\\ ⋮& 0& \ddots & 0\\ {\gamma }_n& 0& 0& 1\end{array}\right){\xi }_t.$$