A.2 卡尔曼滤波方程

A.2 卡尔曼滤波方程

为了建立针对某随机变量 $x$ 的卡尔曼滤波的预测方程和更新方程，令 $x_{t\mid t-1}$ 表示基于 $t-1$ 期信息对 $x_t$ 的最佳预测，而 $x_{t\mid t}$ 表示基于 $t$ 期信息对 $x_t$ 的最佳"预测"（或即时预测）。此外，令矩阵 $P$ 和 $G$ 分别包含与 ${\xi }_t$ 和 ${\gamma }_t$ 的预测相关联的均方误差（MSE）值，即 $P_{t|t-1}=E[({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1})({\xi }_t-{\xi }_{t|t-1}{)}^{\prime }]$ 以及 $P_{t|t}=E[({\xi }_t-{\xi }_{t|t})({\xi }_t-{\xi }_{t|t}{)}^{\prime }]$，同时 $G_{t|t-1}=E[({\gamma }_t-{\gamma }_{t|t-1})({\gamma }_t-{\gamma }_{t|t-1}{)}^{\prime }]$。

利用状态方程 (A.1)、测量方程 (A.2) 和误差协方差方程 (A.3)，我们得到如下预测方程组：

$$\begin{array}{r}{\gamma }_{t|t-1}=H{\xi }_{t|t-1},\end{array}\text{\hspace{1em}(A.13)}$$

$$G_{t|t-1}=H{P}_{t|t-1}{H}^{\prime }+R,\text{\hspace{1em}(A.14)}$$

$${\xi }_{t|t-1}=F{\xi }_{t-1|t-1},\text{\hspace{1em}(A.15)}$$

$$P_{t|t-1}=F{P}_{t-1|t-1}{F}^{\prime }+Q.\text{\hspace{1em}(A.16)}$$

类似地，我们有一对更新方程：

$${\xi }_{t|t}={\xi }_{t|t-1}+P_{t|t-1}{H}^{\prime }{G}_{t|t-1}^{-1}({\gamma }_t-{\gamma }_{t|t-1}),\text{\hspace{1em}(A.17)}$$

$$\begin{array}{r}{P}_{t|t}=P_{t|t-1}-P_{t|t-1}{H}^{\prime }{G}_{t|t-1}^{-1}H{P}_{t|t-1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(A.18)}$$

请注意，状态可能是不可观测的，因此当前期的预测 ${\xi }_{t|t}$ 是有意义的。另一方面，不存在 ${\gamma }_{t|t}$ 或 $G_{t|t}$，因为 ${\gamma }_t$ 是可观测的。

为了解该方法的运作过程，从 $t=0$ 开始。在该时刻我们尚未观测到任何数据，因此必须在没有数据的情况下对 ${\xi }_{1|0}$ 和 $P_{1|0}$ 作出最佳猜测，这实质上意味着选择一对初始条件。利用这些初始条件以及模型参数，预测方程 (A.13) 和 (A.14) 给出 ${\gamma }_{1|0}$ 和 $G_{1|0}$。至此，第一期的所有预测均已就位。

在 $t=1$ 时刻，我们观测到 ${\gamma }_1$。更新方程 (A.17) 和 (A.18) 为我们提供了 ${\xi }_{1|1}$ 和 $P_{1|1}$。然后预测方程 (A.13)–(A.16) 给出第二期的各项预测。

在 $t=2$ 时刻，我们观测到 ${\gamma }_2$，如此循环往复。最终得到状态预测的序列集合 $\{{\xi }_{t|t}\}$ 和 $\{{\xi }_{t|t-1}\}$。