21.4.2 混合数据抽样方法

21.4.2 混合数据采样方法

我们能否通过利用观察频率更高的数据（如每日股价和利率）来改善对月度或季度变量的预测？这是一个重要问题，因为股价和利率等变量是每日发布的，而就业数据是每周发布的，工业生产数据是每月发布的，而 GDP 数据是季度发布的并且会进行修订。为了充分利用所有信息，预测者实际上必须使用混合频率数据。Andreou、Ghysels 和 Kourtellos（2011）所综述的一系列论文开发了所谓的 MIDAS（混合数据采样，mixed data sampling）方法来应对这种情况。6

假设我们感兴趣的是使用某个预测变量的每日观测值 $X_{N_{\mathrm{D}}-j,t}^{\mathrm{D}}$ 来预测季度变量 $Y_{t+1}^{\mathrm{Q}}$，其中 $N_{\mathrm{D}}$ 是该季度内的天数，$j=0$ 指的是季度 $t$ 的最后一天 $X_{N_{\mathrm{D}},t}$，而 $j=N_{\mathrm{D}}-1$ 指的是季度 $t$ 的第一天 $X_{1,t}$。注意 $X$ 的双重下标：第一个下标指的是天数并向后计数，而第二个下标指的是季度。

一种选择是仅使用每日变量的平均值，

$${\bar{X}}_t^{\mathrm{Q}}=(X_{N_{\mathrm{D}},t}^{\mathrm{D}}+X_{N_{\mathrm{D}}-1,t}^{\mathrm{D}}+\cdots +X_{1,t}^{\mathrm{D}})/N_{\mathrm{D}},$$

作为预测模型中的条件信息。这种方法对较早和较近的每日观测赋予相同的权重，但由于较早的信息可能不如较近的信息相关，这可能不是最佳方法。

为应对这一缺陷，另一种选择是简单地将季度结果变量对最近以及可能前几个季度观察到的所有每日变量进行回归，$\{X_{N_{\mathrm{D}},t}^{\mathrm{D}},\dots ,X_{1,t}^{\mathrm{D}},X_{N_{\mathrm{D}},t-1}^{\mathrm{D}},\dots \}$。然而，这会引入许多新参数，并可能导致较大的参数估计误差。

作为这两种极端情况的替代解决方案，Ghysels、Sinko 和 Valkanov（2007）提出了数据驱动的加权（或聚合）方案，以一种简洁的方式通过对高频数据施加滞后多项式，使得较近的每日观测被赋予更大的权重，同时不丢弃旧的数据点。他们考虑了指数 Almon 滞后和贝塔滞后多项式，两者都包含两个未知参数 $({\theta }_1,{\theta }_2)$。

指数 Almon 滞后多项式在滞后 $j$ 处的权重形式为

$$w_j({\theta }_1,{\theta }_2)=\frac{\exp ({\theta }_{1}j+{\theta }_2{j}^2)}{{\sum }_{j=1}^m\exp ({\theta }_{1}j+{\theta }_2{j}^2)},1\le j\le m,\text{\hspace{1em}(21.17)}$$

其中 $m$ 是某个截断点。贝塔滞后的权重为

$$w_j({\theta }_1,{\theta }_2)=\frac{g(j;{\theta }_1,{\theta }_2)}{{\sum }_{j=1}^{m}g(j;{\theta }_1,{\theta }_2)},\text{\hspace{1em}(21.18)}$$

$$g(j;{\theta }_1,{\theta }_2)=j^{{\theta }_1-1}(1-j{)}^{{\theta }_2-1}\frac{\Gamma ({\theta }_1+{\theta }_2)}{\Gamma ({\theta }_1)\Gamma ({\theta }_2)},$$

$$\Gamma ({\theta }_1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}{x}^{{\theta }_1-1}dx.$$

在给定 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 的一组估计值后，可以计算出对各每日观测的权重，然后将季度变量对每日观测的加权平均值进行投影：

$$Y_{t+1}^{\mathrm{Q}}=\mu +\beta \sum _{j=0}^{N_{\mathrm{D}}-1}{w}_j({\theta }_1,{\theta }_2)X_{N_{\mathrm{D}}-j,t}^{\mathrm{D}}+u_{t+1}.\text{\hspace{1em}(21.19)}$$

为简便起见，我们这里假设在预测中仅使用前一季度的每日数据，但当然也可以使用更早时期的每日观测，并相应地调整权重（以及截断点 $m$）。例如，Ghysels、Santa-Clara 和 Valkanov（2005）考虑了 250 个数据点的截断。

MIDAS 方法非常灵活，并涵盖了等权重情形，此时 (21.19) 简化为

$$Y_{t+1}^{\mathrm{Q}}=\mu +\beta {\bar{X}}_t^{\mathrm{Q}}+u_{t+1}.$$

这种情况是 (21.17) 中指数 Almon 滞后在 ${\theta }_1={\theta }_2=0$ 时的一个特例。

从上述描述可以清楚地看出，一旦参数 $({\theta }_1,{\theta }_2)$ 被确定，(21.19) 中的预测步骤就很直接，仅涉及线性投影，使得该方法易于使用。