21.4 不规则观测数据与未观测数据

21.4 不规则观测与未观测数据

经济数据并非总是在等距时间点上观测得到，而是在不规则的时间到达，甚至在某些日期可能根本没有观测到。已发展出多种方法来应对这一问题，我们接下来进行介绍。

21.4.1 现在预测

现在预测（Nowcasting）指的是"预测当下"。具体而言，它是指试图提取关于某些变量或变量系统当前状态的信息，因此不同于传统的预测；参见 Giannone、Reichlin 和 Small（2008）。现在预测只有在当前状态未知时才有意义——否则现在预测将简单地等同于核查所关注变量的当前值。因此，尽管现在预测乍看起来可能像是一个奇怪的概念，但在一个或多个未观测状态变量的模型背景下，它很容易理解。假设存在一个单一的状态变量来概括经济的状态，例如经济周期中的每日点位。然而，假设该状态变量是不可观测的，但与可观测的变量相关。提取该"概括性"状态变量的最佳估计对于预测依赖于经济当前状态的许多其他变量而言可能极有价值。

将现在预测问题作为状态变量系统来处理有两个关键原因。首先，正如我们在实时数据的讨论中所看到的，即使是像 GDP 这样被认为可观测的变量，实际上也是带有测量误差的。其次，由于经济是一个相互关联的系统，关于潜在共同因子的信息可以从多个变量的联合动态建模中获益，而这些变量中的许多在不同程度上受到测量误差的影响，或者只是观测频率不高。

在以相对较高的频率（例如每日）构建经济当前状态或类似的未观测状态变量的估计时，会出现许多实际困难。GDP 数据、货币总量、消费、失业数据或住房开工等宏观经济数据，以及从资产负债表和损益表中提取的金融数据，发布频率很低，有时甚至间隔不规则。等价地，宏观变量发布的延迟因变量而异。这种非同步的数据发布产生了通常所说的"参差不齐的边缘"数据（Banbura、Giannone 和 Reichlin，2011）。

在任何给定时间点，预测者只能使用在该日期可获得的数据，因此需要仔细关注信息集中包含哪些可观测变量。设 $Z_v=\{x_{i_t},t_i=1,\dots ,T_{iv},i=1,\dots ,n\}$ 表示包含在日期 v 可获得数据的信息集，其中 $T_{iv}$ 是变量 i 最近一次发布的日期。

假设有一个 $(n\times 1)$ 的月度数据向量 $x_t=(x_{1t},x_{2t},...,x_{nt}{)}^{\prime }$ 是可用的。遵循 Banbura、Giannone 和 Reichlin（2011），假设所有变量都已被变换，使它们联合平稳，并适合于以下形式的因子表示

$$x_t=\mu +\Lambda F_t+{\epsilon }_t.\text{\hspace{1em}(21.12)}$$

如第 10 章所述，$F_t$ 由 r 个未观测因子组成，是因子载荷，${\epsilon }_t$ 是特质冲击。因子已被去均值化，因此 $E\left[F_t\right]=0$。我们将假设因子服从一阶 VAR 过程，

$$F_t=A{F}_{t-1}+u_t,u_t\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,Q).\text{\hspace{1em}(21.13)}$$

最后，如 Banbura、Giannone 和 Reichlin（2011）所述，(21.12) 中的特质冲击被假设由互不相关的 AR(1) 过程驱动，

$${\epsilon }_t=\mathrm{diag}(\mathbf{\alpha }){\epsilon }_{t-1}+e_t,e_t\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,\mathrm{diag}({\sigma }^2)),\text{\hspace{1em}(21.14)}$$

使得 $E[e_{it}{e}_{jt}]=0\mathrm{for}i\ne j$。项 $\mathrm{diag}(\alpha )$ 和 $\mathrm{diag}({\sigma }^2)$ 都是对角 $(n\times n)$ 矩阵，其主对角线上的 $(i,i)$ 位置分别取值 ${\alpha }_i$ 和 ${\sigma }_i^2$，其余位置为 0。

现在预测方法可以通过将月度观测转换为季度观测的流量变量跨多个时期平均的模型来说明。用上标 M 表示月度变量，$\Delta y_t^{\mathrm{M}}$，并设 $y_t=y_t^{\mathrm{M}}-y_{t-1}^{\mathrm{M}}$ 为月度变化量——若变量以对数形式衡量，则为增长率。假设月度增长率未观测，但由与 (21.12) 中相同的因子驱动。如果月度数据可以通过一个具有独立同分布正态冲击的因子模型来表示，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{y}}_t^{\mathrm{M}}={\mathbf{\mu }}^{\mathrm{M}}+{\mathbf{\Lambda }}^{\mathrm{M}}{\mathbf{F}}_t^{\mathrm{M}}+{\epsilon }_t^{\mathrm{M}},\\ & {\epsilon }_t^{\mathrm{M}}={\alpha }^{\mathrm{M}}{\epsilon }_{t-1}^{\mathrm{M}}+u_t^{\mathrm{M}},u_t^{\mathrm{M}}\sim \mathrm{ind}\mathrm{N}(0,{\sigma }_{\mathrm{M}}^2).\end{array}\text{\hspace{1em}(21.15)}$$

假设我们感兴趣的是对季度变量（如 GDP）进行建模，并将此类变量用上标 Q 表示，记为 $y_t^Q$，使得 $y_t^Q=(y_t^M+y_{t-1}^M+y_{t-2}^M)$。环比增长率 $\Delta y_t^Q\equiv y_t^Q-y_{t-3}^Q$ 可以由 Banbura、Giannone 和 Reichlin（2011）近似表示为：

$$\Delta y_t^Q\approx y_t^M+2y_{t-1}^M+3y_{t-2}^M+2y_{t-3}^M+y_{t-4}^M,\text{\hspace{1em}(21.16)}$$

其中 t 现在以 3 为增量递增，即 $t=3,6,9,12$。项 $\Delta y_t$ 是月度增长率的加权平均。注意权重在中间达到峰值，呈现帐篷形模式。当我们从较高频率（月度）转换为较低频率（季度）并对增长率求和时，这是一种典型的模式。

定义 ${\bar{x}}_t=({\dot{x}}_t^{\prime },\Delta y_t^Q{)}^{\prime }$，Banbura、Giannone 和 Reichlin（2011）证明（21.12）–（21.16）可以写成一个状态空间模型：

$$\begin{array}{rl}{\bar{x}}_t& =\bar{\mu }+Z(\theta ){\bar{\xi }}_t,\\ {\bar{\xi }}_t& =T(\theta ){\bar{\xi }}_{t-1}+{\eta }_t,{\eta }_t\sim \text{ind }N(0,{\Sigma }_{\eta }(\theta )),\end{array}$$

其中状态向量 ${\bar{\xi }}_t$ 和参数 θ 由下式给出：

$$\begin{array}{rl}{\bar{\xi }}_t& =(F_t^M,F_{t-1}^M,F_{t-2}^M,F_{t-3}^M,F_{t-4}^M,{\epsilon }_t^{\prime },{\epsilon }_t^M,{\epsilon }_{t-1}^M,{\epsilon }_{t-2}^M,{\epsilon }_{t-3}^M,{\epsilon }_{t-4}^M{)}^{\prime },\\ \theta & =\{\mu ,{\mu }^M,\Lambda ,{\Lambda }^M,A,\text{diag}(\alpha ),{\alpha }^M,\text{diag}({\sigma }^2),{\sigma }_M^2\}.\end{array}$$

请注意，由于（21.16）中的权重，需要使用四阶滞后。对于单因子（$r=1$）单变量情形，模型产生以下观测方程：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_t\\ \Delta y_t^Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mu \\ {\mu }^M\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccccccccccc}\Lambda & 0& 0& 0& 0& I_n& 0& 0& 0& 0& 0\\ {\Lambda }^M& 2{\Lambda }^M& 3{\Lambda }^M& 2{\Lambda }^M& {\Lambda }^M& 0& 1& 2& 3& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_t^M\\ F_{t-1}^M\\ F_{t-2}^M\\ F_{t-3}^M\\ F_{t-4}^M\\ {\epsilon }_t\\ {\epsilon }_t^M\\ {\epsilon }_{t-1}^M\\ {\epsilon }_{t-2}^M\\ {\epsilon }_{t-3}^M\\ {\epsilon }_{t-4}^M\end{array}\right).$$

类似地，状态方程的形式为

$$\left(\begin{array}{c}{F}_t^M\\ F_{t-1}^M\\ F_{t-2}^M\\ F_{t-3}^M\\ F_{t-4}^M\\ {\epsilon }_t\\ {\epsilon }_t^M\\ {\epsilon }_{t-1}^M\\ {\epsilon }_{t-2}^M\\ {\epsilon }_{t-3}^M\\ {\epsilon }_{t-4}^M\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccccc}A& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ I_r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& I_r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_{t-1}^M\\ F_{t-2}^M\\ F_{t-3}^M\\ F_{t-4}^M\\ F_{t-5}^M\\ {\epsilon }_{t-1}\\ {\epsilon }_{t-1}^M\\ {\epsilon }_{t-2}^M\\ {\epsilon }_{t-3}^M\\ {\epsilon }_{t-4}^M\\ {\epsilon }_{t-5}^M\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\eta }_t^F\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {\eta }_t\\ {\eta }_t^M\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

使用这些方程，可以通过卡尔曼滤波来估计模型。反过来，提取出的状态可以用于生成月度增长率和季度增长率的预测。更多细节和进一步讨论请参阅 Banbura、Giannone 和 Reichlin（2011）。