21.2 工期预测

21.2 持续期预测

对某些事件发生所需时间长度的预测兴趣在许多情境中都会出现。例如，我们可能感兴趣于预测失业期长度、股票价格的牛市持续时间，或者美联储变更联邦基金利率所需的时间。本节研究用于建模和预测持续期数据的最常见预测模型。

具体而言，令 $t_i$ 表示某个到达时间，例如金融交易的执行时间、衰退的开始时间，或美联储基金利率变更的日期，而 $y_i=t_i-t_{i-1}$ 是两个到达时间（"事件"）之间的间隔，我们对其持续期长度进行建模。此外，参考 Engle 和 Russell (1998)，令 ${\psi }_i$ 为给定过去持续期条件下第 $i$ 个持续期的条件期望，

$${\psi }_i(y_{i-1},\dots ,y_1;\theta )\equiv {\psi }_i=E[y_i|y_{i-1},\dots ,y_1].\text{\hspace{1em}(21.5)}$$

Engle 和 Russell (1998) 讨论了 (21.5) 的多种参数化形式。对于乘积误差结构的情形，他们使用如下分解：

$$y_i={\psi }_i{\epsilon }_i,\text{\hspace{1em}(21.6)}$$

其中 ${\epsilon }_i\sim \text{i.i.d}$，具有单位均值和定义在正支撑集上的密度 $p_{\epsilon }(\varphi )$，因为持续期不能为负。注意，此处持续期 $y_i$ 被建模为一个潜在变量 $({\psi }_i)$ 乘以一个正随机变量 $({\epsilon }_i)$。(21.5) 和 (21.6) 中的参数 $\theta$ 和 $\varphi$ 被假定为常数。

自回归条件持续期（ACD）模型类对 (21.6) 中的密度 $p_{\epsilon }(\varphi )$ 以及 (21.5) 中期望持续期的函数形式进行了不同设定。所得到的持续期模型与 13.2 节中讨论的 GARCH 设定非常相似。如果期望持续期仅依赖于最近的 $m$ 个持续期（$y_i$ 的滞后），则我们有

$${\psi }_i=\omega +\sum _{j=1}^m{\alpha }_j{y}_{i-j}.\text{\hspace{1em}(21.7)}$$

Engle 和 Russell (1998) 还提出了一个动态 ACD$(m,q)$ 设定，去除了 (21.7) 的有限记忆特征：

$${\psi }_i=\omega +\sum _{j=1}^m{\alpha }_j{y}_{i-j}+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{\psi }_{i-j}.\text{\hspace{1em}(21.8)}$$

在 (21.8) 以及确保平稳性的适当条件下，该模型持续期的无条件期望为

$$E[y_i]=\frac{\omega }{1-{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_j-{\sum }_{j=1}^q{\beta }_j}.$$

与 GARCH 模型类似，(21.8) 类似于持续期的 ARMA$(m,q)$ 过程，因此我们可以使用迭代方法（例如链式法则）来构造对未来持续期的预测。

一个特别值得关注的设定是 ACD(1,1) 模型：

$${\psi }_i=\omega +{\alpha }_1{y}_{i-1}+{\beta }_1{\psi }_{i-1}.\text{\hspace{1em}(21.9)}$$

假设 ${\alpha }_1,{\beta }_1\ge 0$ 且 $\omega >0$，该模型能够捕捉持续期中的过度离散现象，这与大量经验证据一致。ACD 模型参数的估计可以基于最大似然方法，前提是已经指定一个分布 $p_{\epsilon }(\varphi )$——例如指数分布。Engle 和 Russell (1998) 通过经验研究表明，ACD 模型能够成功地用于建模 IBM 股票交易之间的时间间隔。

Bauwens 等人 (2004) 考虑了这些模型的多种扩展。在 ACD(1,1) 模型 (21.9) 的框架下，他们考虑了指数分布、威布尔分布和广义伽马分布等密度 $p_{\epsilon }$。指数分布仅使用单一参数，并产生平坦的风险函数。威布尔分布将指数分布作为特例嵌套其中，并意味着单调的风险函数。威布尔分布 ${\epsilon }_i\sim W(\gamma ,1)$ 具有（非中心）矩 $E[{\epsilon }_i^n]=\Gamma (1+n/\gamma )$，便于使用。广义伽马分布具有两个形状参数，提供了更大的灵活性。

使用其中任一密度，$y$ 的参数化（条件）密度预测可以计算为 $p_{\epsilon }(y_i{\psi }_i^{-1}){\psi }_i^{-1}$。

Bauwens 等人 (2004) 讨论了如下形式的对数 ACD 模型：

$$\log ({\psi }_i)=\omega +{\alpha }_1\log (y_{i-1})+{\beta }_1\log ({\psi }_{i-1}).$$

该设定的优点在于它无需对右侧施加符号限制；尽管持续期必须是非负的，但对数持续期无需满足此要求。给定 $y_i=\exp ({\psi }_i){\epsilon }_i$ 中冲击 ${\epsilon }_i$ 的密度 $p_{\epsilon }$，对数 ACD 模型的密度预测可由 $p_{\epsilon }(y_i(\exp ({\psi }_i){)}^{-1})(\exp ({\psi }_i){)}^{-1}$ 生成。

Bauwens 和 Veredas (2004) 提出了第三类持续期模型，允许包含单一动态随机因子。该因子 ${\tilde{\psi }}_i$ 被假定服从以下过程：

$$\log ({\tilde{\psi }}_i)=\omega +{\beta }_1\log ({\tilde{\psi }}_{i-1})+u_i,u_i\sim \text{iid }N(0,{\sigma }^2),$$

其中，$y_i=\exp ({\tilde{\psi }}_i){\epsilon }_i$，且 ${\epsilon }_i$ 与 $u_i$ 相互独立。这被称为随机条件持续期模型。例如，Bauwens 和 Veredas 证明，在 ${\epsilon }_i\sim \mathrm{W}(\gamma ,1)$ 即 Weibull 分布的假设下，该模型所隐含的持续期的均值和方差分别为：

$$E[y_i]=\Gamma (1+1/\gamma )\exp \left(\frac{\omega }{1-{\beta }_1}+\frac{{\sigma }^2}{2(1-{\beta }_1^2)}\right),$$

$$\mathrm{Var}(y_i)=E[y_i{]}^2\left(\frac{\Gamma (1+2/\gamma )}{\Gamma (1+1/\gamma {)}^2}\exp \left(\frac{{\sigma }^2}{1-{\beta }_1^2}\right)-1\right).$$

这些表达式可用于评估模型的性质，并生成持续期均值和方差的预测。

Bauwens 等人（2004）使用第 18 章所述的概率积分变换对其持续期预测进行评价。概率积分变换方法非常适用于上述一系列完全参数化且大多数具有闭式解的模型，唯一的例外是 (21.11) 式中的随机条件持续期模型，其密度预测需要通过模拟计算。作为基准，可以采用具有独立同分布增量的简单常数参数指数分布（对应于泊松模型），当然也可以基于本文所述的任何一种模型构建更为复杂的动态基准。