20.5 预测评估

20.5 预测评估

对于单变量模型，对于正确设定或接近正确设定的模型（例如，当 $\rho$ 局部接近于 1 时施加单位根的模型），样本内均方预测误差将收敛到不可预测成分的方差。这一点并不意外，它直接源于估计误差的阶数小于由不可预测误差成分引起的变异。

样本外的情况会变得更加复杂，尽管只有一小部分研究将第 16 章和第 17 章的样本外结果扩展到非平稳模型。我们将在一个简单模型中简要讨论主要问题，以阐明对具有单位根或近单位根的持续性数据使用预测的含义。持续性数据的一个关键问题是：在预测单一结果时，样本外平方误差的均值通常不再收敛到期望损失，因此传统的绩效估计并不一定能反映期望的绩效。在较长的预测期下，样本 MSE 值的均值随着样本量的增加而发散。这些结果对通常报告的绩效指标（如 MSE、MSE 比值或 $R^2$ 值）具有重要含义。

20.5.1 单变量模型的样本外评估

为建立样本外预测评估的结果，考虑 (20.2) 的最简形式，其中 $d_t=1$ 且 $c(L)=1$，因此该模型为带有均值漂移的 AR(1) 模型。我们还将初始条件设为 0。样本分割点为 $T_1=[T\times r]$，因此前 $T_1$ 个观测值用于第一个估计期，此后使用递归扩展的估计窗口至 $T+h$。

首先，设 $h$ 固定。如果我们近似的预测期相对于样本量较短，这是一种合理的方法。如上所述，

$$y_{t+h}-y_t=({\rho }^h-1)(y_t-\varphi )+\sum _{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{t+i},$$

因此使用 $\rho$ 和 $\varphi$ 真实值的不可行预测产生的 MSE 为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{MSE}(\rho ,\varphi )& =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}{\left(y_{t+h}-y_t-({\rho }^h-1)(y_t-\varphi )\right)}^2\\ & =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}{u}_{t+h}^2,\end{array}$$

其中 $u_{t+h}={\sum }_{i=1}^h{\rho }^{h-i}{\epsilon }_{t+i}$。当 $u_{t+h}$ 表现出有限的依赖性时，在足够的正则性条件下，我们期望 $\mathrm{MSE}(\rho ,\varphi )\stackrel{P}{\to }E[u_{t+h}^2]$。

设置 $f_{t+h|t}=y_t$ 的随机游走 (rw) 预测所对应的 MSE 值为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{MSE}(\mathrm{rw})& =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=1+1}^{T-h}(y_{t+h}-y_t{)}^2\\ & =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=1+1}^{T-h}{\left(u_{t+h}+({\rho }^h-1)(y_t-\varphi )\right)}^2\\ & =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=1+1}^{T-h}(u_{t+h}^2+T^{-1}{\left[T({\rho }^h-1)(T^{-1/2}(y_t-\varphi ))\right]}^2\\ & +2T({\rho }^h-1)T^{-1}{u}_{t+h}(y_t-\varphi )).\end{array}$$

第二项以速率 $T$ 消失，第三项消失得更快。模型的局部误设会产生一个 $T^{-1}$ 阶的项，与常规情况相同。但在此处，这一项具有随机极限。

当 $\rho$ 被估计时，主导项仍为不可预测成分，并且同样会有一个 $T^{-1}$ 阶的随机项进入极限表达式。样本外 MSE 现在变为

$$\begin{array}{rl}\mathrm{MSE}(\hat{\rho },\hat{\varphi })& =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}{\left(y_{t+h}-({\hat{\rho }}^h-1)(y_t-\hat{\varphi })\right)}^2\\ & =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}{\left(u_{t+h}+({\rho }^h-1)(y_t-\varphi )-({\hat{\rho }}^h-1)(y_t-\hat{\varphi })\right)}^2\\ & =\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}[u_{t+h}-T^{-1/2}[T({\hat{\rho }}^h-{\rho }^h)T^{-1/2}(y_t-\varphi )\\ & {-T({\hat{\rho }}^h-1)T^{-1/2}(\hat{\varphi }-\varphi )]]}^2.\end{array}$$

同样地，主导项渐近地将为已知模型 MSE 的极限。还有一个以速率 $T$ 消失的项，其等于

$$\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}{\left[T({\hat{\rho }}^h-{\rho }^h)T^{-1/2}(y_t-\varphi )-T({\hat{\rho }}^h-1)T^{-1/2}(\hat{\varphi }-\varphi )\right]}^2$$

的极限。该项的极限将依赖于 $\gamma$；回顾 $\rho =1-\gamma /T$。作为布朗运动函数的解析表达式可以获得，但其复杂性使其实际价值有限。

除了已知模型的情况外，MSE 表达式中 $O_p(T)$ 项的极限取决于 $r$，即样本分割比例的选择。

从这个意义上说，单个 $h$ 步超前预测的一阶风险项的期望值，与样本外 $h$ 步超前预测误差平方的平均值是不同的。因此，平均 MSE 值可能并不是估计真实风险的良好指引。

当 $h$ 相对于样本量较大时，我们可以考虑相同的方法，使得 $h=[T\lambda ]$ 以与样本相同的速率增长，以获得渐近结果。设预测误差为 $y_{t+h}-f_{t+h|t}$。则样本外实验中所关注的统计量为

$$\mathrm{MSE}=\frac{1}{T-T_1-h}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}(y_{t+h}-f_{t+h|t}{)}^2.$$

为了分析该统计量及其大样本行为，首先假设模型是已知的，从而 $y_{t+h}-f_{t+h|t}=y_{t+h}-{\rho }^h{y}_t$。则对于已知的 $\rho$，我们有

$$\begin{array}{rl}{T}^{-1}\mathrm{MSE}(\rho )& =\frac{1}{T-T_1-h}\frac{1}{T}\sum _{t=T_1+1}^{T-h}(y_{t+h}-{\rho }^h{y}_t{)}^2\\ & =\frac{1}{1-[Tr]/T-[T\lambda ]/T}\frac{1}{T}\sum _{t=[Tr]+1}^{T-[T\lambda ]}(T^{-1/2}{y}_{t+[T\lambda ]}-{\rho }^h{T}^{-1/2}{y}_t{)}^2\\ & \Rightarrow \frac{1}{1-\lambda -r}{\int }_r^{1-\lambda }{\left(M(s+\lambda )-e^{-\gamma \lambda }M(s)\right)}^{2}ds.\end{array}$$

这正是不可预测分量极限的平均值。它依赖于分割点 $(r)$、预测范围 $(\lambda )$，以及持久度 $\gamma$。

如果我们改为对预测模型施加单位根，并使用 $f_{t+h|t}=y_t$，则得到

$$\begin{array}{rl}{T}^{-1}\widehat{\mathrm{MSE}}(\rho )& =\frac{1}{T-T_1-h}\frac{1}{T}\sum _{t=[Tr]+1}^{T-[T\lambda ]}(T^{-1/2}{y}_{t+[T\lambda ]}-T^{-1/2}{y}_t{)}^2\\ & =\frac{1}{1-\lambda }\frac{1}{T}\sum _{t=[Tr]+1}^{T-[T\lambda ]}{\left(T^{-1/2}{y}_{t+[T\lambda ]}-T^{-1/2}{y}_t+(e^{-\gamma \lambda }-1)T^{-1/2}{y}_t\right)}^2\\ & \Rightarrow \frac{1}{1-\lambda -r}{\int }_r^{1-\lambda }{\left(M(s+\lambda )-e^{-\gamma \lambda }M(s)\right)}^{2}ds.\end{array}$$

这依赖于同样的三个参数 $r$、$\lambda$ 和 $\gamma$。

同样，我们可以计算这些极限表达式的均值。这些均值依赖于 $r$，即样本分割点的选择，除非存在精确的单位根 $(\gamma =0)$，在这种情况下，所有 $r$ 值的均值均为 $\lambda$。这些表达式的均值通常与单次结果中相同 $h$ 步超前预测表达式的均值不同。