20.4.1 实证应用

20.4.1 实证应用

关于股息率是否能预测股票收益的问题在金融文献中引起了相当大的关注。直观上，我们预期股息价格比至少在较长的预测期上会均值回归，因此该变量可以作为衡量股票是昂贵（股息价格比较小）还是便宜（股息价格比较大）的指标。Valkanov（2003）是专注于研究股息价格比对收益预测能力的研究之一。

Valkanov考虑的收益预测模型是式(20.10)的一个特例：

$$\begin{array}{r}{y}_{t+1}=\beta z_t+u_{1t+1},\\ z_{t+1}=\varphi z_t+u_{2t+1},\end{array}\text{\hspace{1em}(20.14)}$$

其中 $\varphi =1-\gamma /T$，$\gamma$ 是一个不可观测的冗余参数，在单位根情形下 $\gamma =0$，而对于持续性回归变量，$\gamma <0$。

定义长期变量 $y_t^h={\sum }_{i=0}^{h-1}{y}_{t+i}$，$z_t^h={\sum }_{i=0}^{h-1}{z}_{t+i}$；Valkanov 考虑了使用"短期"预测变量 $\left({\mathbf{z}}_t\right)$ 或"长期"预测变量 $z_t^h$（将过去 $h$ 期的预测变量进行累积）进行的长期回归：

$$y_{t+1}^h=\beta z_t+u_{1ht+1},\text{\hspace{1em}(20.15)}$$

$$y_{t+1}^h=\beta z_t^h+u_{2ht+1}.\text{\hspace{1em}(20.16)}$$

Valkanov 假设重叠 $h$ 为样本量的一个固定比例，$h=\lfloor \lambda T\rfloor$，$\lambda \in (0,1)$，且创新项 $u_t$ 为鞅差分序列。

在这些假设下，Valkanov 证明了在回归(20.15)中，将累积的 $h$ 期收益对单期回归变量 $z_t$ 进行回归所得的估计 $\hat{\mathbf{\beta }}$ 不一致，且其极限分布依赖于未知冗余参数 $\gamma$。此外，$\beta$ 的 t 统计量不收敛于一个明确定义的分布，而是以 $T^{1/2}$ 的速率发散。在实践中，这意味着较长的预测期往往会产生更高的 t 统计量，且在原假设下，预测回归(20.15)的 $R^2$ 值依概率不收敛。

表 20.3： 针对月度股票收益进行的预测回归的检验统计量。表中报告了在月度股票收益对截距项和股息率进行回归中股息率的斜率系数（第2列）。还报告了使用 Newey-West HAC 标准误得到的斜率系数的 t 统计量（第3列），以及除以样本量 $T$ 的平方根后的 t 统计量。样本使用 1926–2013 年期间的月度数据。

相反，使用长期预测变量 $z_t^h$ 的回归(20.16)会得到 $\beta$ 的一致估计量。虽然 $t_{\hat{\mathbf{\beta }}}$ 统计量仍然不收敛于一个明确定义的分布，但缩放后的统计量 $t_{\hat{\beta }}/T^{1/2}$ 弱收敛，因此检验可以基于该统计量的模拟临界值进行。事实上，在备择假设 $\beta \ne 0$ 下，$\hat{\mathbf{\beta }}$ 是超一致的，以速率 $T$ 收敛，且 $R^2$ 依概率收敛于 1。这些结果表明，为了获得 $\beta$ 的一致估计，最好将长期变量（例如累积收益）对长期预测变量（累积股息率）进行回归。

作为示例，我们接下来考虑对月度美国股票收益进行实证应用的结果。我们使用线性模型，通过股息价格比在预测期 $h=\{1,2,3,6,12,24,36,48,60\}$ 个月上预测股票收益。表 20.3 报告了 Valkanov（2003）推荐的检验统计量以及传统的 t 统计量，正如我们已经看到的，传统的 t 统计量可能会产生误导。股息率的高度持续性，以及股票收益创新与股息之间强烈的负相关性表明，在解释该数据的预测回归时应当谨慎。事实上，尽管传统的 t 检验在较长的预测期上看起来高度显著，但从缩放的 t 检验 $t_{\hat{\beta }}/\sqrt{T}$ 来看，几乎没有证据表明存在预测能力。

20.4.2 多元长期预测的结果

已有少量文献将单变量结果扩展到了多变量模型。Stock（1996）和Phillips（1998）为向量自回归提供了相关结果，这些模型可能具有单位根或接近单位根的根，且变量之间存在协整或近协整关系。主要结论是：预测和预测误差的分布依赖于局部至单位根参数，正如上文所示的单变量问题一样。这使得构造一致有效的预测和能一致覆盖被预测变量结果的置信区间变得极为困难。Rossi（2005b）利用多变量模型的结果，基于随机游走模型与估计模型之间的差异构建检验。这一过程需要考虑局部至单位根参数的未知取值。Corradi、Swanson和Olivetti（2001）在具有协整变量的设定下研究了Diebold–Mariano检验。