20.3.1 实证示例

20.3.1 实证示例

作为实证说明，我们考虑季度通货膨胀率（即 CPI 的对数一阶差分）、失业率和利率的长期预测。这些时间序列具有较强的持续性，这在前面章节中已有所体现。我们展示了预测期限 h = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 20} 个季度下的结果，并比较了来自随机游走、带漂移的随机游走、由 AIC 准则选择滞后阶数的 AR 模型，以及 AR(1) 和 AR(4) 模型的预测结果。表 20.1 中报告的样本外结果是基于 1970–2014 年期间采用扩展估计窗口生成的。

首先考察通货膨胀率。结果显示，在 1 到 3 个季度的预测期限内，自回归模型总体上优于随机游走模型，但在最长的 20 个季度预测期限内，随机游走模型表现更佳。带漂移的随机游走模型产生的预测效果很差，尤其是在较长的预测期限内。对于失业率，AR(4) 模型在所有预测期限内均占优，随机游走模型产生的 RMSE 值总体上略高于 AR 模型。相比之下，对于利率序列，无论是在短期还是长期预测期限内，随机游走模型均产生最低的 RMSE 值。

在所有情形中，带漂移的随机游走模型表现都很差，原因在于此处考察的序列并未在任何特定方向上呈现确定性趋势。然而，简单的随机游走设定与自回归设定孰优，会因变量和样本期的不同而有所差异。哪个模型能产生最佳预测，取决于真实但未知的潜在序列持续性程度；这与我们的理论结果是一致的。

20.4 持续性回归元下的预测

一种常见的预测情形涉及一个具有持续性的回归元——该回归元向其均值的回归速度非常缓慢，甚至根本不回归——但根据线性回归中该回归元排除性的检验，它似乎具有预测能力。例子包括：使用远期溢价预测汇率变动（Bilson, 1981），使用短期利率、消费和股票价格预测收入变动（Chen, 1991；Hall, 1978），或使用股息价格比或收益价格比预测未来股票收益（Stambaugh, 1999；Valkanov, 2003）。在许多情况下，被这些预测变量所捕捉到的被解释变量的变动幅度通常较小，尽管在经济上常常具有重要意义，例如金融资产上一个较小但高度持续的风险溢价的情形。

表 20.1： 不同预测模型的均方根预测误差（RMSE）。该表报告了季度通货膨胀率、失业率和利率序列在不同预测期限（从 1 到 20 个季度）下的 RMSE 值。预测评估期为 1970–2014 年；对于具有未知参数的模型，参数采用递归扩展估计窗口进行估计。

为刻画这种情形，考虑如下模型：

$$\begin{array}{c}{y}_t={\varphi }_y{d}_{yt}+\beta z_{t-1}+u_{yt},\\ z_t={\varphi }_z{d}_{zt}+w_{zt},\\ (1-\rho L)w_{zt}=u_{zt},\\ u_{z1}=\xi .\end{array}\text{\hspace{1em}(20.10)}$$

表 20.2：

单边检验的规模性质。

注：单边上尾检验的显著性水平为 5%。

回归变量 $z_t$ 遵循与 (20.2) 中 ${\gamma }_t$ 相同的过程。对 $u_{zt}$ 的假设与前文相同。像 (20.10) 这样的回归通常不允许 $u_{yt}$ 存在序列相关。如果 $u_{yt}$ 存在序列相关,我们希望对这种相关性进行建模以提高预测能力。此外,在实证应用中通常几乎找不到或完全找不到序列相关。项 $d_{zt}$ 和 $d_{yt}$ 被假定为确定性的,且 $d_{zt}\subseteq d_{yt}$

我们进一步假设残差 $u_t=(u_{yt},u_{zt}{)}^{\prime }$ 的偏和收敛于一个二元布朗运动过程,其方差-协方差矩阵 $\Sigma$ 由下式给出:10

$$\Sigma =\left(\begin{array}{cc}{\Sigma }_{11}& \delta {\Sigma }_{11}^{1/2}{\Sigma }_{22}^{1/2}\\ \delta {\Sigma }_{11}^{1/2}{\Sigma }_{22}^{1/2}& {\Sigma }_{22}\end{array}\right)$$

$\delta$ 是 $u_{yt}$ 与 $u_{zt}$ 之间的相关性。当 $u_{zt}$ 序列相关但全局协方差平稳时,这也是这些冲击之间的长期相关性。

蒙特卡洛模拟结果已使许多学者注意到:当 $\rho$ 接近 1 且 $\delta$ 远离 0 时,假设 $H_0:\beta =0$ 对 $H_1:\beta \ne 0$ 的 t 检验不能很好地由标准正态分布来近似。当 $\delta >0$ 时,检验在上尾拒绝不足,在下尾过度拒绝;$\delta <0$ 时则相反;参见 Mankiw and Shapiro (1986)、Elliott and Stock (1994) 和 Stambaugh (1999)。表 20.2 给出了 $T=100$ 且 $\xi =0$ 时名义 5% 水平下检验的上尾拒绝率。$(\delta ,\rho )$ 的取值是针对使用股利价格比预测股票收益变化的相关选择(Stambaugh, 1999)。

计量经济分析已对上述发现给出两种解释:要么将其视为一个随样本量增大而消失的样本偏倚问题,要么通过将 $\rho$ 建模为局部单位根,并证明总是存在 $\rho$ 的一个区域使得无论样本量大小,这类检验都会过度拒绝。在这两种方法下,对于 $\delta \ne 0$,我们都有一个 SUR 模型,并且我们可以对 $u_t$ 进行旋转,使得 $u_{yt}={\Sigma }_{11}^{1/2}(\delta {\Sigma }_{22}^{-1/2}{u}_{zt}+(1-{\delta }^2{)}^{1/2}{u}_{y.zt})$,其中 $u_{y.zt}$ 与 $u_{zt}$ 正交。如果模型中没有确定项,这允许我们将 $\mu$ 的 OLS 估计量写为

$$\begin{array}{l}(\hat{\beta }-\beta )=\frac{\sum z_{t-1}{u}_{yt}}{\sum z_{t-1}^2}\\ ={\Sigma }_{11}^{1/2}\left(\delta {\Sigma }_{22}^{-1/2}(\hat{\rho }-\rho )+(1-{\delta }^2{)}^{1/2}\frac{\sum z_{t-1}{u}_{y.zt}}{\sum z_{t-1}^2}\right),\end{array}$$

其中 $\hat{\rho }$ 是通过对 $z_t$ 进行 AR(1) 回归得到的 $\rho$ 的 OLS 估计量。"小样本"方法背后的直觉从该式可以清楚地看出。第二项的抽样分布以 0 为中心。OLS 系数在 $\rho >0$ 时存在向下偏倚;因此若 $\delta <0$,则 $\hat{\mathbf{\beta }}$ 将存在向上偏倚,正如上文讨论的模拟中所发现的那样。偏倚的程度取决于确定项的性质,并且在回归中估计常数项时偏倚更大。Stambaugh (1999) 给出了当 $|\rho |<1$ 时偏倚规模的解析结果。Amihud and Hurvich (2004) 提出了一种偏倚修正方法,并基于其修正后的估计量构建检验。这些方法都要求 $|\rho |<1$。该方法的问题在于,对于"接近" 1 的根,修正所依据的假设不成立,修正无法解决过度拒绝问题,这意味着我们需要知道 $\rho$ 是否接近 1。一般来说,如果 $\rho$ 离 1 足够远,原始的规模扭曲问题较小,修正量也较小。因此,这些方法似乎仅适用于"中等"大小的 $\rho$,而且很难精确界定 $\rho$ 处于这样一个区域:既足够接近 1 以至于我们需要修正统计量,又足够远离 1 以至于修正能够解决过度拒绝问题。

渐近方法允许 $\rho$ 一致地小于 1(但接近 1)以及 $\rho =1$。遵循这一方法并使用该表达式,Elliott and Stock (1994) 利用局部单位根表示 ${\rho }_T=1-\gamma /T$ 证明了当 $\beta ={\beta }_0$ 时,t 统计量收敛到极限分布

$$t_{\beta ={\beta }_0}⟹\delta t^{\ast }+(1-{\delta }^2{)}^{1/2}{z}^{\ast },$$

其中 $z^{\ast }$ 是一个标准的（混合）正态随机变量，且与 $t^{\ast }$ 独立；而 $t^{\ast }$ 具有一个非标准分布，等价于在将 $z_t$ 对 $z_{t-1}$ 以及用于修正 $u_{2t}$ 中序列相关的滞后变化项进行回归时，检验 $z_t$ 系数为 ${\rho }_T$ 的 t 检验的分布。当 $\rho =1$ 时，这就是单位根检验中 t 统计量所熟知的迪基–富勒分布。该非标准分布是 $\gamma$（局部单位根参数）的函数。因此，当 $\delta$ 较小或为 0 时，检验 $z_t$ 是否为 $y_{t+1}$ 的良好预测变量几乎不存在规模扭曲（size distortion）；然而，对于偏离 0 较远的 $\delta$ 值，如果 $\rho$ 充分接近 1，即使在渐近情况下我们也会预期出现规模扭曲。

从经验上理解该问题是否出现相对简单，因为问题的程度取决于参数 $(\delta ,\rho )$ 和样本量。我们可以通过对数据使用 OLS 来一致地估计 $\delta$，并使用 Newey and West (1987) 或 Andrews (1991) 中概述的标准方法估计谱密度矩阵。从该估计矩阵中得到的相关系数估计是一致的，尽管其偏向于 0。对于局部单位根参数 $\gamma$，目前尚不存在一致估计量。然而，我们仍然可以从经验上理解该问题是否出现，因为我们可以构建关于 $\rho$ 的置信区间，这些区间能够为哪些 $\gamma$ 值看起来合理提供信息。对于任何 $\delta$ 值，常规 t 检验中的规模扭曲在 $\rho$ 接近 1 时最大。例如，若 $\delta =0.5$，一个名义上 10% 的等尾检验会导致约 11% 的下尾拒绝率和约 2% 的上尾拒绝率。当 $\delta =0.9$ 时，下尾拒绝率上升到 38%，而上尾拒绝率几乎完全消失——约为千分之一。随着 $\gamma$ 变大且 $\rho$ 减小，这些规模扭曲也随之消失。

人们已经提出了多种方法来构建 (20.10) 中 $\beta$ 的置信区间。Cavanagh、Elliott 和 Stock (1995) 提出了一种 Bonferroni 方法，将 $\rho$ 的置信区间与 (20.13) 中的分布结合使用，从而为 $\beta$ 提供区间。Campbell 和 Yogo (2006) 表明，基于 (20.10) 的旋转版本的类似方法能够相对该方法获得改进。Jansson 和 Moreira (2006) 提出了一种基于 $\rho$ 的充分统计量进行条件化的方法，由此得到的检验在给定该统计量的条件下具有最大功效。由于该检验在设计上对所有 $\rho$ 值都类似，因此按构造它是无偏的。然而，这一性质的代价是功效的降低——Jansson 和 Moriera 表明，对于许多备择假设，Campbell 和 Yogo (2006) 的方法具有更好的功效。Elliott (2011) 表明，能够帮助解释导致非零 $\delta$ 的同时性（simultaneity）的额外平稳协变量可用于缓解或消除规模扭曲。Elliott、Müller 和 Watson (2015) 发展了一种在备择空间中针对某一点构建最优假设检验的方法，并且该方法在所有 $\delta$ 值下都控制规模。后两种方法具有这样的性质：它们不一定要求 $\rho$ 接近 1。