多元预测模型

20.3 多变量预测模型

在对一组持续性变量的向量进行建模时，在假设均方误差损失的前提下，一个自然的出发点是使用向量自回归模型。我们完全可以让估计方法自行决定参数，而忽略单位根存在的可能性。这种水平形式的 VAR 在预测领域有着悠久的历史；最初的 Litterman VAR 采用的先验是各变量均服从带单位根的 AR(1) 过程（参见 9.3.2 节）。

回顾一下，我们可将水平形式的 VAR 写为 $y_t=A(L)y_{t-1}+{\epsilon }_t$。与单变量模型类似，估计误差对模型风险的影响虽与平稳情形不同，但其量级相同，因此对于短期（固定）预测期，其影响将以 $T$ 的速率消失。为了说明这一点，注意一步向前预测误差向量为

$$y_{T+1}-f_{T+1|T}={\epsilon }_{T+1}+[A(L)-\hat{A}(L)]y_T.\text{\hspace{1em}(20.7)}$$

与单变量情形一样，由估计误差引起的项将以 $T^{1/2}$ 的速率消失，因而平方误差项将以 $T$ 的速率消失。

当 $y_t$ 中的 $n$ 个变量均具有单位根，且在变量之间不存在协整关系时，我们只需对系统施加已知的单位根并对差分形式的 VAR 进行估计即可。在这种情况下，第 9 章的结果可直接适用。当 $n$ 个变量之间存在协整关系且模型中仅有 $n-r$ 个单位根（$n>r$）时，Granger 表示定理（Engle and Granger, 1987）表明，正确的设定形式是误差修正模型（ECM）。对于这种情况，VAR 可写为

$$\Delta y_t=\alpha {\beta }^{\prime }{y}_{t-1}+\tilde{A}(L)\Delta y_{t-1}+{\epsilon }_t,\text{\hspace{1em}(20.8)}$$

其中 ${\beta }^{\prime }{y}_t$ 是 $r$ 个协整向量。这些是 $y_t$ 的线性组合，其所有根都在单位圆之外。这里的 $\alpha$ 是一个 $(n\times r)$ 的"冲击"系数向量。

一个很自然的问题是：在向前 $h$ 步预测中施加协整约束究竟有多大用处。这类似于在问：使用水平形式 VAR（式 (20.7)）与使用误差修正模型（式 (20.8)）所得到的预测究竟有多大差异。第二个问题是：协整向量对向前 $h$ 期的预测有多大价值，也就是说，使用差分形式的 VAR（从而忽略了协整向量所包含的信息）与使用 ECM 所得到的预测究竟有多大差异。我们依次讨论这两个问题。

Granger 表示定理表明，$n$ 个单位根变量之间的 $r$ 个协整关系对水平形式 VAR 的参数施加了 $(n-r{)}^2$ 个约束，包括对协整向量的标准化；这些约束便形成了误差修正模型。因此，基于 VAR 和基于 ECM 设定所得到的预测之间的差异，源于是否施加这些约束所导致的差别。对于上文考察的单变量模型，类似的对照是施加单位根约束与估计该参数之间的差异。在单变量情形中，我们看到当确实存在单位根时，这种约束会带来更优的预测；但当约束不成立时，由于估计误差的减少被额外的偏差所淹没，反而会增大期望损失。在此处讨论的多变量情形中，也存在类似的权衡。然而，此时涉及的约束数量更多（潜在收益更大），同时约束可能不完全成立的维度也更多，因此考察潜在的损失更为困难。Abadir、Hadri 和 Tzavalis（1999）研究了估计这 $r^2$ 个系数对估计误差的影响，发现其影响可能很大，根源在于约束的维度同样很大。不过，他们并未考察这些影响如何作用于预测。

第二个问题涉及的是：在预测中使用协整向量所提供的信息，与仅施加单位根而忽略协整关系（即与差分形式的误设模型相比）相比，其价值如何。使用误设模型曾经是（某种程度上至今仍是）处理持续性变量预测问题的标准方法。这一方法本质上是在问：从预测模型 (20.8) 中省略 $\alpha {\beta }^{\prime }{y}_{t-1}$ 是否会造成损失。直观上看，若 $\alpha$ 接近 0 和/或协整向量 ${\beta }^{\prime }{y}_{t-1}$ 持续性不强，那么省略这些变量并不会产生太大影响。反之，若 $\alpha$ 较大且 ${\beta }^{\prime }{y}_{t-1}$ 持续性很强，那么省略误差修正项就可能对预测产生影响。事实确实如此。为了说明这一点，考虑一个仅含单个协整关系（即 $n=2$，$r=1$）且不含其他动态（即 $\tilde{A}(L)=0$）的双变量系统中的误差修正模型。通过递归代入，我们可将其写为

$$y_{t+h}-y_t=\left(\frac{1-{\rho }_c^h}{1-{\rho }_c}\right)\alpha {\beta }^{\prime }{y}_t+\sum _{i=1}^h(\alpha {\beta }^{\prime }+I{)}^{h-i}{\epsilon }_{t+i},\text{\hspace{1em}(20.9)}$$

其中 ${\rho }_c=1+{\beta }^{\prime }\alpha$ 是 AR(1) 协整向量 ${\beta }^{\prime }{y}_t$ 的自回归参数，因此衡量了协整向量的持续性。这个例子有助于澄清前面的讨论。$\alpha$ 越大，协整向量对 h 步向前预测的贡献越大。同样，${\rho }_c$ 越大，协整向量对预测的影响也越大。这解释了为什么有些研究表明加入协整向量对预测影响较小，而另一些研究表明影响较大之间看似矛盾的现象。Engle 和 Yoo（1987）提供的蒙特卡洛证据表明，在中等预测期范围内，协整项是有用的——他们选择的参数为 $\alpha =(-0.4,0.1)$ 且 ${\rho }_c=0.4$，因此协整向量具有中等持续性。Christoffersen 和 Diebold（1998）设定 ${\rho }_c=0$，因此在其模拟中协整向量不具有序列相关性，所以加入协整向量所获收益甚微。Engle 和 Yoo（1987）与 Christoffersen 和 Diebold（1998）都指出，随着 h 增大，使用协整向量的相对价值会降低。这一点在上述模型中可以很容易看出。只要 $|{\rho }_c|<1$，${\beta }^{\prime }{y}_t$ 就是平稳的，具有有限渐近方差，因此误差修正项的贡献在 h 增大时方差有界。相比之下，不可预测部分（即式（20.9）中的最后一项）的方差随 h 增大而增大，因此忽略协整向量的相对代价会随着预测期增大而趋于 0。

上述分析假定协整模型设定正确。实践者可能以多种方式错误设定模型。首先，变量的持续性可能并不意味着它们具有精确的单位根。其次，我们可能不知道模型中协整关系的准确数量。与单变量情形类似，我们仍可以施加错误设定的模型，或者预测者可以使用预检验来尝试估计最合适的模型。这些选择涉及权衡：如果限制条件足够接近真实情况，施加限制效果良好。当预检验的原假设成立时，或者当模型背离原假设的程度足够大以至于检验功效接近 1 时，预检验效果良好；但在这两种情况之间，预检验表现较差。Reinsel 和 Ahn（1992）对四个变量和两个协整向量进行了小型蒙特卡洛分析。他们发现，在短期中差分不足（即施加过少的协整向量）效果较好，而在长期中过度差分效果较好，因为协整向量的影响在一定程度上已经逐渐消失。他们还评估了预检验方法，尽管从中很难得出一般性结论。Lin 和 Tsay（1996）进行了更大规模的模拟，发现对模型施加协整约束能带来一些收益；然而在实际数据分析中，他们没有发现任何收益。